Jak integrujete int 1 / sqrt (-e ^ (2x) -20e ^ x-101) dx pomocí goniometrické substituce?

Odpovědět:

# -sqrt (101) / 101i * ln ((10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1-sqrt101) / (10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1 + sqrt101)) + C #

Vysvětlení:

Řešení je trochu zdlouhavé !!!

Od daného #int 1 / sqrt (-e ^ (2x) -20e ^ x-101) * dx #

#int 1 / ((sqrt (-1) * sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) * dx #

Všimněte si toho # i = sqrt (-1) # imaginární číslo

Na chvíli odložte toto komplexní číslo a pokračujte k integrálu

#int 1 / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) * dx #

vyplněním čtverce a provedením seskupení:

#int 1 / (sqrt ((e ^ x) ^ 2 + 20e ^ x + 100-100 + 101) * dx #

#int 1 / (sqrt ((((^ ^ x) ^ 2 + 20e ^ x + 100) -100 + 101)) * dx #

#int 1 / (sqrt ((((^ ^ x + 10) ^ 2-100 + 101))) * dx #

#int 1 / (sqrt ((((^ ^ x + 10) ^ 2 + 1))) * dx #

První trigonometrická substituce: ##

Ostrý úhel # w # s protilehlou stranou # = e ^ x + 10 # a sousední straně #=1# s hypotenií =#sqrt ((e ^ x + 10) ^ 2 + 1) #

Nechat # e ^ x + 10 = tan w #

# e ^ x dx = sec ^ 2 w # # dw #

# dx = (sec ^ 2w * dw) / e ^ x #

a pak

# dx = (sec ^ 2w * dw) / tan (w-10) #

Integrál se stává

#int 1 / sqrt (tan ^ 2w + 1) * (sec ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int 1 / sqrt (sec ^ 2w) * (sec ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int 1 / sec w * (sec ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int (secw * dw) / (tan w-10) #

z trigonometrie #sec w = 1 / cos w # a #tan w = sin w / cos w #

Integrál se stává

#int (1 / cos w * dw) / (sin w / cos w-10) # a

#int (dw) / (sin w-10 cos w) #

Druhá trigonometrická substituce:

Nechat # w = 2 tan ^ -1 z #

# dw = 2 * dz / (1 + z ^ 2) #

a také # z = tan (w / 2) #

Pravý trojúhelník: ostrý úhel # w / 2 # s protější stranou # = z #

Sousední strana #=1# a hypotéza # = sqrt (z ^ 2 + 1) #

Z Trigonometrie: Vzpomínka na poloviční úhly

#sin (w / 2) = sqrt ((1-cos w) / 2 #

# z / sqrt (z ^ 2 + 1) = sqrt ((1-cos w) / 2 #

řešení #cos w #

#cos w = (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2) #

Také pomocí identity #sin ^ 2w = 1-cos ^ 2w #

z toho vyplývá, že

#sin w = (2z) / (1 + z ^ 2) #

integrál se stává

#int (dw) / (sin w-10 cos w) = int (2 * dz / (1 + z ^ 2)) / ((2z) / (1 + z ^ 2) -10 * (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2)) #

Zjednodušení integrálních výsledků

#int (2 * dz) / (2z-10 + 10z ^ 2) #

#int ((1/5) * dz) / (z ^ 2 + z / 5-1) #

Vyplněním čtverce:

#int ((1/5) * dz) / (z ^ 2 + z / 5 + 1 / 100-1 / 100-1) #

#int ((1/5) * dz) / ((z + 1/10) ^ 2-101 / 100) #

#int ((1/5) * dz) / ((z + 1/10) ^ 2- (sqrt101 / 10) ^ 2) #

Použijte nyní vzorec #int (du) / (u ^ 2-a ^ 2) = 1 / (2a) * ln ((u-a) / (u + a)) + C #

Nechat # u = z + 1/10 # a # a = sqrt101 / 10 # a včetně zpět # i = sqrt (-1) #

Zapište konečnou odpověď pomocí původních proměnných

# -sqrt (101) / 101i * ln ((10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1-sqrt101) / (10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1 + sqrt101)) + C #