Jaké jsou absolutní extrémy f (x) = sin2x + cos2x v [0, pi / 4]?

Odpovědět:

Absolutní maximum: #x = pi / 8 #

Absolutní min. je v koncových bodech: #x = 0, x = pi / 4 #

Vysvětlení:

Najít první derivaci pomocí pravidla řetězce:

Nechat #u = 2x; u '= 2 #, tak #y = sinu + cos u #

#y '= (cosu) u' - (sinu) u '= 2cos2x - 2sin2x #

Nastavení kritických čísel #y '= 0 # a faktor:

# 2 (cos2x-sin2x) = 0 #

Kdy #cosu = sinu #? když #u = 45 ^ @ = pi / 4 #

tak #x = u / 2 = pi / 8 #

Najít druhou derivaci: #y '' = -4sin2x-4cos2x #

Zkontrolujte, zda máte max # pi / 8 # pomocí 2. derivátového testu:

#y '' (pi / 8) ~ ~ -5,66 <0 #, proto # pi / 8 # je absolutní max v intervalu.

Zkontrolujte koncové body:

#y (0) = 1; y (pi / 4) = 1 # minimální hodnoty

Z grafu:

graf {sin (2x) + cos (2x) -.1,.78539816, -.5, 1.54}

Odpovědět:

# 0 a sqrt2 #. Viz ilustrativní Socratův graf.

Vysvětlení:

graf(Použití # | sin (theta) | v 0, 1 #.

# | f | = | sin2x + cos2x | #

# sqrt2 | sin2x cos (pi / 4) + cosx sin (pi / 4) |

# = sqrt2 | sin (2x + pi / 4) | v 0, sqrt 2 #.