Dvojice spravedlivých šestistranných kostek je osmkrát hozena. Najděte pravděpodobnost, že skóre větší než 7 nebude zaznamenáno více než pětkrát?

Odpovědět:

#~=0.9391#

Vysvětlení:

Než se dostaneme k samotné otázce, pojďme si promluvit o metodě řešení.

Řekněme například, že chci zodpovědnost za všechny možné výsledky třikrát překlopit. Můžu dostat HHH, TTT, TTH a HHT.

Pravděpodobnost H je #1/2# a pravděpodobnost T je také #1/2#.

Pro HHH a pro TTT, to je # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # každý.

Pro TTH a HHT je to také # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # každý, ale protože tam jsou 3 způsoby, jak mohu dostat každý výsledek, to skončí bytí # 3xx1 / 8 = 3/8 # každý.

Když shrnu tyto výsledky, dostanu #1/8+3/8+3/8+1/8=1# - což znamená, že nyní mám všechny možné výsledky převodu mincí.

Všimněte si, že když nastavím # H # být # p # a proto mají # T # být # ~ p #a také si všimněte, že máme linku z Pascalova trojúhelníku #(1,3,3,1)#jsme vytvořili formulář:

#sum_ (k = 0) ^ (n) C_ (n, k) (p) ^ k ((~ p) ^ (n-k)) #

a tak v tomto příkladu dostaneme:

# = C_ (3,0) (1/2) ^ 0 (1/2) ^ 3 + C_ (3,1) (1/2) ^ 1 (1/2) ^ 2 + C_ (3,2) (1/2) ^ 2 (1/2) ^ 1 + C_ (3,3) (1/2) ^ 3 (1/2) ^ 0 #

#=1(1)(1/8)+3(1/2)(1/4)+3(1/4)(1/2)+1(1/8)(1)#

#=1/8+3/8+3/8+1/8=1#

Můžeme to udělat.

Dostali jsme počet rolí jako 8, takže # n = 8 #.

# p # je součet větší než 7. Chcete-li zjistit pravděpodobnost získání součtu většího než 7, podívejme se na možné role:

# ((barva (bílá) (0), ul1, ul2, ul3, ul4, ul5, ul6), (1 |, 2,3,4,5,6,7), (2 |, 3,4,5, 6,7,8), (3 |, 4,5,6,7,8,9), (4 |, 5,6,7,8,9,10), (5 |, 6,7, 8,9,10,11), (6 |, 7,8,9,10,11,12)) #

Z 36 možností dává 15 rolí součet vyšší než 36, což dává pravděpodobnost #15/36=5/12#.

S # p = 5/12, ~ p = 7/12 #

Můžeme napsat celý součet možností - od získání všech 8 rolí až po součet větší než 7 až po získání všech 8 rolí 7 nebo méně:

# = C_ (8,0) (5/12) ^ 8 (7/12) ^ 0 + C_ (8,1) (5/12) ^ 7 (7/12) ^ 1 + C_ (8,2) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2 + C_ (8,3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8,4) (5/12) ^ 4 (7/12) ^ 4 + C_ (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ 5 + C_ (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8,7) (5/12) ^ 1 (7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (5/12) ^ 0 (7/12) ^ 8 = 1 #

ale zajímáme se o shrnutí pouze těch termínů, které mají více než 7 součtů, které se dějí 5krát nebo méně:

# = C_ (8,3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8,4) (5/12) ^ 4 (7/12) ^ 4 + C_ (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ 5 + C_ (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8,7) (5/12) ^ 1 (7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (5/12) ^ 0 (7/12) ^ 8 #

#~=0.9391#

Odpovědět:

#0.93906#

Vysvětlení:

# "Takže P výsledek> 7 = 15/36 = 5/12" #

#P "to nastane k časy na 8 hodech" = C (8, k) (5/12) ^ k (7/12) ^ (8-k) "# #

# "(binomické rozdělení)" #

# "s" C (n, k) = (n!) / ((n-k)! k!) "(kombinace)" #

#"Tak, "#

#P "to nastane nejvíce 5 časů na 8 hodech" #

# = 1 - P "to nastane 6, 7, nebo 8 krát na 8 hodech" #

# = 1-C (8,6) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2-C (8,7) (5/12) ^ 7 (7/12) - (5/12) ^ 8 #

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 8*(7/5) + 28*(7/5)^2)#

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 11.2 + 54.88) = 1 - (5/12)^8 (67.08)#

#= 0.93906#