Jaká je druhá odmocnina 5?

Druhá odmocnina #5# nemůže být zjednodušený otec, než to už je, tak tady je # sqrt5 # na deset desetinných míst:

# sqrt5 ~ ~ 2.2360679775 … #

Odpovědět:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …))))) ~ ~ 2889/1292 ~ ~ 2.236068 # je iracionální číslo.

Vysvětlení:

Všechna kladná čísla mají obvykle dva čtvercové kořeny, pozitivní a negativní stejné velikosti. Označujeme pozitivní (a.k.a. princip) druhou odmocninu # n # podle #sqrt (n) #.

Druhá odmocnina čísla # n # je číslo #X# takové # x ^ 2 = n #. Takže když # x ^ 2 = n # pak také # (- x) ^ 2 = n #.

Nicméně, populární použití je že “druhá odmocnina” se odkazuje na to pozitivní.

Předpokládejme, že máme kladné číslo #X# který splňuje:

#x = 2 + 1 / (2 + x) #

Pak násobí obě strany # (2 + x) # dostaneme:

# x ^ 2 + 2x = 2x + 5 #

Pak odečte # 2x # z obou stran dostáváme:

# x ^ 2 = 5 #

Zjistili jsme:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (2 + sqrt (5)) #

#color (bílá) (sqrt (5)) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …)))) #)

Pokud tato nepřetržitá frakce neskončí, můžeme to říci #sqrt (5) # nemůže být reprezentován jako koncová frakce - tj. racionální číslo. Tak #sqrt (5) # je iracionální číslo o něco menší než #2 1/4 = 9/4#. Pro lepší racionální aproximaci můžete pokračovat v pokračujícím zlomku po více termínech.

Například:

#sqrt (5) ~ ~ 2 + 1 / (4 + 1/4) = 2 + 4/17 = 38/17 ~ ~ 2.235 #

Rozbalení těchto pokračujících frakcí může být trochu únavné, takže obecně dávám přednost použití jiné metody, konkrétně omezujícímu poměru celočíselné sekvence definované rekurzivně.

Definujte posloupnost podle:

# {(a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_ (n + 2) = 4a_ (n + 1) + a_n):} #

Prvních pár termínů je:

#0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473#

Poměr mezi termíny bude mít tendenci # 2 + sqrt (5) #.

Najdeme tedy:

#sqrt (5) ~ ~ 5473/1292 - 2 = 2889/1292 ~ ~ 2.236068 #