Odpovědět:
Viz vysvětlení
Vysvětlení:
Je to snadné vidět
# x ^ 4-18x ^ 2 + 81 = (x ^ 2) ^ 2-2 * 9 * x ^ 2 + 9 ^ 2 = 0 => (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 #
Proto to máme # (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 => x ^ 2-9 = 0 => x = 3 nebo x = -3 #
Uvědomte si, že kořeny # x_1 = 3, x_2 = -3 # mají mnohost #2#
protože máme čtvrtý stupeň polynomu.
Odpovědět:
#x = + -3 #
Vysvětlení:
Normálně, k vyřešení polynomu stupně 4, jako je ten zde, musíte udělat syntetické dělení a použít spoustu vět a pravidel - to dostane trochu chaotický. Tento je však zvláštní, protože z něj můžeme udělat kvadratickou rovnici.
Děláme to tím, že necháme #u = x ^ 2 #. Nebojte se, kde # u # přišel z; je to něco, co používáme, abychom tento problém zjednodušili. S #u = x ^ 2 #, problém se stává
# u ^ 2-18u + 81 = 0 #.
Nevypadá to lépe? Teď máme co do činění s pěknou, jednoduchou kvadratickou rovnicí. Ve skutečnosti je to dokonalé náměstí; jinými slovy, když to faktorem, dostanete # (u-9) ^ 2 #. Samozřejmě bychom mohli použít kvadratický vzorec nebo doplnit čtverec, abychom vyřešili tuto rovnici, ale obvykle nemáte to štěstí, že máte dokonalý čtvercový kvadratický - tak využijte. V tomto okamžiku máme:
# (u-9) ^ 2 = 0 #
Řešíme druhou odmocninu obou stran:
#sqrt ((u-9) ^ 2) = sqrt (0) #
A to zjednodušuje
# u-9 = 0 #
Nakonec přidáme 9 stran na obě strany
#u = 9 #
Úžasný! Téměř tam. Náš původní problém však má #X#v ní a naše odpověď má # u # v něm. Musíme se obrátit #u = 9 # do #x = # něco. Ale neboj se! Pamatujte na začátku jsme řekli let #u = x ^ 2 #? Teď, když máme naše # u #, my jen zapojíme to zpět najít naše #X#. Tak, #u = x ^ 2 #
# 9 = x ^ 2 #
#sqrt (9) = x #
#x = + -3 # (protože #(-3)^2 = 9# a #(3)^2 = 9#)
Proto jsou naše řešení #x = 3 # a #x = -3 #. Všimněte si, že #x = 3 # a #x = -3 # jsou dvojité kořeny, takže technicky jsou všechny kořeny #x = 3 #, #x = 3 #, #x = -3 #, #x = -3 #.
