Co je orthocenter trojúhelníku s rohy na (9, 7), (4, 4) a (8, 6) #?

Odpovědět:

Viz. níže.

Vysvětlení:

Zavoláme vrcholy # A = (4,4) #, # B = (9,7) # a # C = (8,6) #.

Musíme najít dvě rovnice, které jsou kolmé na dvě strany a procházejí dvěma vrcholy. Můžeme najít sklon dvou stran a následně sklon dvou kolmých čar.

Sklon AB:

#(7-4)/(9-4)=3/5#

Svah kolmý k tomuto:

#-5/3#

Toto musí projít vrcholem C, takže rovnice čáry je:

# y-6 = -5 / 3 (x-8) #, # 3y = -5x + 58 # 1

Sklon BC:

#(6-7)/(8-9)=1#

Svah kolmý k tomuto:

#-1#

Toto musí projít vrcholem A, takže rovnice čáry je:

# y-4 = - (x-4) #, # y = -x + 8 # 2

Kde se protínají 1 a 2, je ortocentr.

Řešení 1 a 2 současně:

# 3 (-x + 8) = - 5x + 58 #

# -3x + 24 = -5x + 58 #

# -3x + 24 = 5x + 58 => x = 34/2 = 17 #

Použití 2:

# y = -17 + 8 = -9 #

Orthocenter:

#(17, -9)#

Protože trojúhelník je tupý, ortocentr je mimo trojúhelník. to lze vidět, pokud prodloužíte výškové čáry, dokud se nepřekročí.

Odpovědět:

Orthocenter

# x_0 = 17, y_0 = -9 #

Obvod

# x_0 = 2, y_0 = 13 #

Vysvětlení:

Orthocenter

Dáno # p_1, p_2, p_3 # a

#vec v_ (12), vec v_ (13), vec v_ (23) # takové

# << vec v_ (12), p_2-p_1 >> = << vec v_ (13), p_3-p_1 >> = << vec v_ (23), p_3-p_2 >> = 0 #

Tyto vektory lze snadno získat například

# p_1 = (x_1, y_1) # a # p_2 = (x_2, y_2) # a pak

#vec v_ (12) = (y_1-y_2, - (x_1-x_2)) #

Teď máme

# L_1 -> p_1 + lambda_1 vec v_ (23) #

# L_2-> p_2 + lambda_2 vec v_ (13) #

# L_3-> p_3 + lambda_3 vec v_ (12) #

Tyto tři linie se protínají v pravoúhlém trojúhelníku

Výběr # L_1, L_2 # my máme

# (x_0, y_0) = "arg" (L_1 nn L_2) # nebo

# p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) #

dávat rovnice

# {(<< vec v_ (13), vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (13), vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1, vec v_ (13) >>), (<< vec v_ (23), vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (23), vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1, vec v_ (23) >>):} #

Nyní řešit # lambda_1, lambda_2 # my máme

# lambda_1 = -4, lambda_2 = -13 #

a pak

# p_0 = p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) = (17, -9) #

Obvod

Obvodová rovnice je dána vztahem

# C-> x ^ 2 + y ^ 2-2x x_0-2y y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0 #

teď když # {p_1, p_2, p_3} v jazyce C # my máme

# {(x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2-2x_1 x_0-2y_1 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0), (x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2-2x_2 x_0-2y_2 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0), (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2-2x_3 x_0-2y_3 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0):} #

odečtením prvního od druhého

# x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) -2x_0 (x_2-x_1) -2y_0 (y_2-y_1) = 0 #

odečtením první z třetí

# x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) -2x_0 (x_3-x_1) -2y_0 (y_3-y_1) = 0 #

dávat systém rovnic

# ((x_2-x_1, y_2-y_1), (x_3-x_1, y_3-y_1)) ((x_0), (y_0)) = 1/2 ((x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2)), (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2))) #)

Nahrazujeme zadané hodnoty

# x_0 = 2, y_0 = 13 #

Připojen graf zobrazující orthocenter (červený) a circumcentercenter (modrý).