Odpovědět:
Už tady odpověděl.
Vysvětlení:
Musíte nejprve najít # sin18 ^ @ #, pro které jsou podrobnosti k dispozici zde.
Pak se můžete dostat # cos36 ^ @ # jak je ukázáno zde.
Odpovědět:
Řešíme #cos (2 theta) = cos (3 theta) # nebo # 2x ^ 2-1 = 4x ^ 3-3x # pro # x = cos 144 ^ circ # a dostat #cos 36 ^ circ = -cos 144 ^ circ = 1/4 (1 + sqrt {5}).
Vysvětlení:
Dostaneme #cos 36 ^ circ # mírně nepřímo z dvojitého a trojitého úhlu pro kosinus. Je to docela v pohodě, jak se to dělá, a má překvapující konec.
Zaměříme se na #cos 72 ^ circ #. Úhel # theta = 72 ^ circ # splňuje
#cos (2 theta) = cos (3 theta).
Pojďme to vyřešit # theta #, vzpomíná #cos x = cos a # má řešení #x = pm a + 360 ^ circ k. #
# 2 theta = 3 theta + 360 ^ circ k #
# 5 theta = 360 ^ circ k # nebo # -theta = 360 ^ circ k #
#theta = 72 ^ circ k #
To zahrnuje # 360 ^ circ k # takže můžeme "nebo" část.
Nehledám zde záhadu (navzdory překvapivému konci), takže to zmíním #cos (2 (72 ^ circ)) = cos (144 ^ circ) = - cos (36 ^ circ) # je také platným řešením a vidíme, jak to souvisí s otázkou.
#cos (2 theta) = cos (3 theta) #
# 2 cos ^ 2 theta -1 = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta #
Teď ať # x = cos theta #
# 2 x ^ 2 -1 = 4 x ^ 3 - 3x #
# 4 x ^ 3 - 2x ^ 2 - 3x +1 = 0 #
Víme # x = cos (0 krát 72 ^ circ) = 1 # je řešení # (x-1) # je faktor:
# (x - 1) (4 x ^ 2 + 2x - 1) = 0 #
Kvadratický má kořeny
#x = 1/4 (-1 pm sqrt {5}) #
Pozitivní musí být #cos 72 ^ circ # a negativní #cos 144 ^ circ #.
#cos 144 ^ circ = 1/4 (-1 - sqrt {5}) #
#cos 36 ^ circ = cos (180 ^ circ - 144 ^ circ) = -cos 144 ^ circ = 1/4 (1 + sqrt {5}) #
To je odpověď. Překvapením je, že polovina Zlatého poměru!
