Odpovědět:
Už tady odpověděl.
Vysvětlení:
Musíte nejprve najít sin18 ^ @ sin18∘, pro které jsou podrobnosti k dispozici zde.
Pak se můžete dostat cos36 ^ @ cos36∘ jak je ukázáno zde.
Odpovědět:
Řešíme cos (2 theta) = cos (3 theta) cos(2θ)=cos(3θ) nebo 2x ^ 2-1 = 4x ^ 3-3x 2x2−1=4x3−3x pro x = cos 144 ^ circ x=cos144∘ a dostat #cos 36 ^ circ = -cos 144 ^ circ = 1/4 (1 + sqrt {5}).
Vysvětlení:
Dostaneme cos 36 ^ circ cos36∘ mírně nepřímo z dvojitého a trojitého úhlu pro kosinus. Je to docela v pohodě, jak se to dělá, a má překvapující konec.
Zaměříme se na cos 72 ^ circ cos72∘. Úhel theta = 72 ^ circ θ=72∘ splňuje
#cos (2 theta) = cos (3 theta).
Pojďme to vyřešit theta θ, vzpomíná cos x = cos a cosx=cosa má řešení x = pm a + 360 ^ circ k. x=±a+360∘k.
2 theta = 3 theta + 360 ^ circ k 2θ=3θ+360∘k
5 theta = 360 ^ circ k 5θ=360∘k nebo -theta = 360 ^ circ k −θ=360∘k
theta = 72 ^ circ k θ=72∘k
To zahrnuje 360 ^ circ k 360∘k takže můžeme "nebo" část.
Nehledám zde záhadu (navzdory překvapivému konci), takže to zmíním cos (2 (72 ^ circ)) = cos (144 ^ circ) = - cos (36 ^ circ) cos(2(72∘))=cos(144∘)=−cos(36∘) je také platným řešením a vidíme, jak to souvisí s otázkou.
cos (2 theta) = cos (3 theta) cos(2θ)=cos(3θ)
2 cos ^ 2 theta -1 = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta 2cos2θ−1=4cos3θ−3cosθ
Teď ať x = cos theta x=cosθ
2 x ^ 2 -1 = 4 x ^ 3 - 3x 2x2−1=4x3−3x
4 x ^ 3 - 2x ^ 2 - 3x +1 = 0 4x3−2x2−3x+1=0
Víme x = cos (0 krát 72 ^ circ) = 1 je řešení (x-1) je faktor:
(x - 1) (4 x ^ 2 + 2x - 1) = 0
Kvadratický má kořeny
x = 1/4 (-1 pm sqrt {5})
Pozitivní musí být cos 72 ^ circ a negativní cos 144 ^ circ .
cos 144 ^ circ = 1/4 (-1 - sqrt {5})
cos 36 ^ circ = cos (180 ^ circ - 144 ^ circ) = -cos 144 ^ circ = 1/4 (1 + sqrt {5})
To je odpověď. Překvapením je, že polovina Zlatého poměru!