Jak zjistíte přesnou hodnotu cos 36 ^ @ pomocí součtu a rozdílu, dvojitého úhlu nebo polovičního úhlu?

Jak zjistíte přesnou hodnotu cos 36 ^ @ pomocí součtu a rozdílu, dvojitého úhlu nebo polovičního úhlu?
Anonim

Odpovědět:

Už tady odpověděl.

Vysvětlení:

Musíte nejprve najít sin18 ^ @ , pro které jsou podrobnosti k dispozici zde.

Pak se můžete dostat cos36 ^ @ jak je ukázáno zde.

Odpovědět:

Řešíme cos (2 theta) = cos (3 theta) nebo 2x ^ 2-1 = 4x ^ 3-3x pro x = cos 144 ^ circ a dostat #cos 36 ^ circ = -cos 144 ^ circ = 1/4 (1 + sqrt {5}).

Vysvětlení:

Dostaneme cos 36 ^ circ mírně nepřímo z dvojitého a trojitého úhlu pro kosinus. Je to docela v pohodě, jak se to dělá, a má překvapující konec.

Zaměříme se na cos 72 ^ circ . Úhel theta = 72 ^ circ splňuje

#cos (2 theta) = cos (3 theta).

Pojďme to vyřešit theta , vzpomíná cos x = cos a má řešení x = pm a + 360 ^ circ k.

2 theta = 3 theta + 360 ^ circ k

5 theta = 360 ^ circ k nebo -theta = 360 ^ circ k

theta = 72 ^ circ k

To zahrnuje 360 ^ circ k takže můžeme "nebo" část.

Nehledám zde záhadu (navzdory překvapivému konci), takže to zmíním cos (2 (72 ^ circ)) = cos (144 ^ circ) = - cos (36 ^ circ) je také platným řešením a vidíme, jak to souvisí s otázkou.

cos (2 theta) = cos (3 theta)

2 cos ^ 2 theta -1 = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta

Teď ať x = cos theta

2 x ^ 2 -1 = 4 x ^ 3 - 3x

4 x ^ 3 - 2x ^ 2 - 3x +1 = 0

Víme x = cos (0 krát 72 ^ circ) = 1 je řešení (x-1) je faktor:

(x - 1) (4 x ^ 2 + 2x - 1) = 0

Kvadratický má kořeny

x = 1/4 (-1 pm sqrt {5})

Pozitivní musí být cos 72 ^ circ a negativní cos 144 ^ circ .

cos 144 ^ circ = 1/4 (-1 - sqrt {5})

cos 36 ^ circ = cos (180 ^ circ - 144 ^ circ) = -cos 144 ^ circ = 1/4 (1 + sqrt {5})

To je odpověď. Překvapením je, že polovina Zlatého poměru!