Jak zjistíte přesnou hodnotu cos 36 ^ @ pomocí součtu a rozdílu, dvojitého úhlu nebo polovičního úhlu?

Jak zjistíte přesnou hodnotu cos 36 ^ @ pomocí součtu a rozdílu, dvojitého úhlu nebo polovičního úhlu?
Anonim

Odpovědět:

Už tady odpověděl.

Vysvětlení:

Musíte nejprve najít sin18 ^ @ sin18, pro které jsou podrobnosti k dispozici zde.

Pak se můžete dostat cos36 ^ @ cos36 jak je ukázáno zde.

Odpovědět:

Řešíme cos (2 theta) = cos (3 theta) cos(2θ)=cos(3θ) nebo 2x ^ 2-1 = 4x ^ 3-3x 2x21=4x33x pro x = cos 144 ^ circ x=cos144 a dostat #cos 36 ^ circ = -cos 144 ^ circ = 1/4 (1 + sqrt {5}).

Vysvětlení:

Dostaneme cos 36 ^ circ cos36 mírně nepřímo z dvojitého a trojitého úhlu pro kosinus. Je to docela v pohodě, jak se to dělá, a má překvapující konec.

Zaměříme se na cos 72 ^ circ cos72. Úhel theta = 72 ^ circ θ=72 splňuje

#cos (2 theta) = cos (3 theta).

Pojďme to vyřešit theta θ, vzpomíná cos x = cos a cosx=cosa má řešení x = pm a + 360 ^ circ k. x=±a+360k.

2 theta = 3 theta + 360 ^ circ k 2θ=3θ+360k

5 theta = 360 ^ circ k 5θ=360k nebo -theta = 360 ^ circ k θ=360k

theta = 72 ^ circ k θ=72k

To zahrnuje 360 ^ circ k 360k takže můžeme "nebo" část.

Nehledám zde záhadu (navzdory překvapivému konci), takže to zmíním cos (2 (72 ^ circ)) = cos (144 ^ circ) = - cos (36 ^ circ) cos(2(72))=cos(144)=cos(36) je také platným řešením a vidíme, jak to souvisí s otázkou.

cos (2 theta) = cos (3 theta) cos(2θ)=cos(3θ)

2 cos ^ 2 theta -1 = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta 2cos2θ1=4cos3θ3cosθ

Teď ať x = cos theta x=cosθ

2 x ^ 2 -1 = 4 x ^ 3 - 3x 2x21=4x33x

4 x ^ 3 - 2x ^ 2 - 3x +1 = 0 4x32x23x+1=0

Víme x = cos (0 krát 72 ^ circ) = 1 je řešení (x-1) je faktor:

(x - 1) (4 x ^ 2 + 2x - 1) = 0

Kvadratický má kořeny

x = 1/4 (-1 pm sqrt {5})

Pozitivní musí být cos 72 ^ circ a negativní cos 144 ^ circ .

cos 144 ^ circ = 1/4 (-1 - sqrt {5})

cos 36 ^ circ = cos (180 ^ circ - 144 ^ circ) = -cos 144 ^ circ = 1/4 (1 + sqrt {5})

To je odpověď. Překvapením je, že polovina Zlatého poměru!