Jak zjistíte objem oblasti ohraničené křivkami y = x ^ 2 - 1 a y = 0 otočené kolem linie x = 5?

Odpovědět:

# V = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = pi (85 + 1/3) #

Vysvětlení:

Abychom mohli tento objem spočítat, v určitém smyslu ho rozřízneme na (nekonečně tenké) řezy.

Představujeme si region, abychom nám s tím pomohli, uzavřel jsem graf, kde je region částí pod křivkou. Všimli jsme si toho # y = x ^ 2-1 # překračuje čáru # x = 5 # kde # y = 24 # a že překračuje čáru # y = 0 # kde # x = 1 # graf {x ^ 2-1 1, 5, -1, 24}

Při řezání této oblasti v horizontálních řezech s výškou # dy # (velmi malá výška). Délka těchto řezů velmi závisí na souřadnici y. pro výpočet této délky potřebujeme znát vzdálenost od bodu # (y, x) # na lince # y = x ^ 2-1 # k bodu (5, y). Samozřejmě # 5-x #, ale chceme vědět, jak to závisí # y #. Od té doby # y = x ^ 2-1 #, víme # x ^ 2 = y + 1 #, protože máme #x> 0 # pro region, ve kterém se zajímáme, # x = sqrt (y + 1) #, proto tato vzdálenost závisí na # y #, které budeme označovat jako #r (y) # darováno #r (y) = 5-sqrt (y + 1) #.

Teď tuto oblast otočíme # x = 5 #to znamená, že každý řez se stane válcem s výškou # dy # a poloměr #r (y) #, tedy objem #pir (y) ^ 2dy #. Vše, co teď musíme udělat, je sčítat tyto nekonečně malé objemy pomocí integrace. Všimli jsme si toho # y # jde od #0# na #24#.

# V = int_0 ^ 24pir (y) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (25-10sqrt (y-1) + y + 1) dy = piint_0 ^ 24 (26-10sqrt (y + 1) + y) dy = pi 26y-20/3 (y + 1) ^ (3/2) + y ^ 2/2 _0 ^ 24 = pi (26 * 24-20 / 3 (25) ^ (3/2) + 20/3 + 24 ^ 2/2) = pi (85 + 1/3) #.