Co mohou polynomické identity platit i mimo polynomy?

Odpovědět:

Podívejte se na vysvětlení některých příkladů …

Vysvětlení:

Jedna identita polynomu, která se často vyskytuje v různých oblastech, je rozdíl identity čtverců:

# a ^ 2-b ^ 2 = (a-b) (a + b) #

Setkáváme se s tím v kontextu racionalizace jmenovatelů.

Zvažte tento příklad:

# 1 / (2 + sqrt (3)) #

# = (2-sqrt (3)) / ((2-sqrt (3)) (2 + sqrt (3)) #

# = (2-sqrt (3)) / (2 ^ 2 + barva (červená) (zrušit (barva (černá) ((2) sqrt (3))) - barva (červená) (zrušit (barva (černá) (sqrt (3) (2))) - (sqrt (3)) ^ 2) #

# = (2-sqrt (3)) / (2 ^ 2- (sqrt (3)) ^ 2) #

# = (2-sqrt (3)) / (4-3) #

# = 2-sqrt (3) #

Rozpoznáváním rozdílu vzorů čtverců můžeme vynechat krok:

# = (2-sqrt (3)) / (2 ^ 2 + barva (červená) (zrušit (barva (černá) ((2) sqrt (3))) - barva (červená) (zrušit (barva (černá) (sqrt (3) (2))) - (sqrt (3)) ^ 2) #

Nebo zvažte tento příklad s malými komplexními aritmetickými a trigonometrickými funkcemi:

# 1 / (cos theta + i sin theta) #

# = (cos theta - i sin theta) / ((cos theta - i sin theta) (cos theta + i sin theta)) #

# = (cos theta - i sin theta) / (cos ^ 2 theta - i ^ 2 sin ^ 2 theta) #

# = (cos theta - i sin theta) / (cos ^ 2 theta + sin ^ 2 theta) #

# = cos theta - i sin theta #

Příklad použití v Calculus viz http://socratic.org/questions/what-is-limit-as-n- Approaches-infinity-of-sqrt-n-2-n-n

Na druhém konci stupnice je tato polynomická identita někdy užitečná pro mentální aritmetiku. Například:

#97 * 103 = (100 - 3)(100 + 3) = 100^2 - 3^2 = 10000 - 9 = 9991#