Jaký je sklon čáry kolmý k tečné přímce f (x) = sec ^ 2x-xcos (x-pi / 4) při x = (15pi) / 8?

Odpovědět:

# => y = 0,063 (x - (15pi) / 8) - 1,08 #

Interaktivní graf

Vysvětlení:

První věc, kterou budeme muset udělat, je spočítat #f '(x) # v #x = (15pi) / 8 #.

Pojďme udělat tento termín termínem. Pro # sec ^ 2 (x) # termín, všimneme si, že máme v sobě dvě funkce: # x ^ 2 #, a #sec (x) #. Proto budeme muset použít pravidlo řetězce zde:

# d / dx (sec (x)) ^ 2 = 2sec (x) * d / dx (sec (x)) #

#color (modrá) (= 2sec ^ 2 (x) tan (x)) #

Pro druhý termín budeme muset použít pravidlo produktu. Tak:

# d / dx (xcos (x-pi / 4)) = barva (červená) (d / dx (x)) cos (x-pi / 4) + barva (červená) (d / dxcos (x-pi / 4))(X)#

#color (modrá) (= cos (x-pi / 4) - xsin (x-pi / 4)) #

Možná se divíte, proč jsme pro tuto část nepoužívali řetězové pravidlo, protože máme # (x - pi / 4) # uvnitř kosinu. Odpověď zní implicitně, ale my jsme to ignorovali. Všimněte si, jak derivace # (x - pi / 4) # je prostě 1? Proto, násobení, že na nic nic nemění, takže to nepíšeme do výpočtů.

Všechno jsme dali dohromady:

# d / dx (sec ^ 2x-xcos (x-pi / 4)) = barva (fialová) (2sec ^ 2 (x) tan (x) - cos (x-pi / 4) + xsin (x-pi / 4) 4)) #

Sledujte své znamení.

Nyní musíme najít sklon čáry tangenciální #f (x) # v #x = (15pi) / 8 #. Abychom to provedli, stačí do této hodnoty zapojit #f '(x) #:

#f '((15pi) / 8) = (2sec ^ 2 ((15pi) / 8) tan ((15pi) / 8) - cos ((15pi) / 8-pi / 4) + (15pi) / 8sin ((15pi) / 8-pi / 4)) = barva (fialová) (~ ~ -6,79) #

To, co chceme, však není linie tečná k f (x), ale řádek normální k němu. Abychom toho dosáhli, vezmeme jen negativní zápornou hodnotu sklonu.

#m_ (norma) = -1 / -15.78 barva (fialová) (~ ~ 0.015) #

Teď jsme prostě všechno zapadli do tvaru svahu:

#y = m (x-x_0) + y_0

# => y = 0,063 (x - (15pi) / 8) - 1,08 #

Podívejte se na tento interaktivní graf a uvidíte, jak to vypadá!

Doufám, že to pomohlo:)