Jaká je průměrná hodnota funkce f (x) = cos (x / 2) v intervalu [-4,0]?

Odpovědět:

# 1 / 2sin (2) #, přibližně #0.4546487#

Vysvětlení:

Průměrná hodnota #C# funkce #F# na intervalu # a, b # darováno:

# c = 1 / (b-a) int_a ^ bf (x) dx #

Zde se jedná o průměrnou hodnotu:

# c = 1 / (0 - (- 4)) int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) dx #

Použijme substituci # u = x / 2 #. To znamená, že # du = 1 / 2dx #. Pak můžeme integrál jako takový přepsat:

# c = 1 / 4min _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) dx #

# c = 1 / 2int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) (1 / 2dx) #

Rozdělení #1/4# do #1/2*1/2# povoleno pro # 1 / 2dx # být přítomen v integrálu, takže můžeme snadno provést substituci # 1 / 2dx = du #. Také musíme změnit hranice do hranic # u #, ne #X#. K tomu vezměte proud #X# a zapojte je do # u = x / 2 #.

# c = 1 / 2int _ (- 2) ^ 0cos (u) du #

Toto je společný integrál (všimněte si toho # d / dxsin (x) = cos (x) #):

# c = 1/2 sin (u) _ (- 2) ^ 0 #

Hodnocení:

# c = 1/2 (sin (0) -sin (-2)) #

# c = -1 / 2sin (-2) #

Všimněte si, že #sin (-x) = - sin (x) #:

# c = 1 / 2sin (2) #

#c cca0.4546487 #

Průměrná hodnota funkce v (x) = 4 / x2 na intervalu [[1, c] se rovná 1. Jaká je hodnota c?

C = 4 Průměrná hodnota: (int_1 ^ c (4 / x ^ 2) dx) / (c-1) int_1 ^ c (4 / x ^ 2) = [-4 / x] _1 ^ c = -4 / c + 4 Průměrná hodnota je (-4 / c + 4) / (c-1) Řešení (-4 / c + 4) / (c-1) = 1 nás dostane c = 4.

Jaká je průměrná hodnota funkce f (x) = (x-1) ^ 2 na intervalu [1,5]?

16/3 f (x) = (x-1) ^ 2 = x ^ 2-2x + 1 "Průměr všech bodů" f (x) v [a, b] = (int_a ^ bf (x) dx) / (ba) int_1 ^ 5 (x ^ 2-2x + 1) dx = [x ^ 3/3-x ^ 2 + x] _1 ^ 5 = [5 ^ 3 / 3-5 ^ 2 + 5] - [ 1 / 3-1 + 1] = 65 / 3-1 / 3 = 64/3 (64/3) / 4 = 16/3

Jaká je průměrná hodnota funkce f (t) = te ^ (- t ^ 2) na intervalu [0,5]?

Je to 1/10 (1-e ^ -25) 1 / (5-0) int_0 ^ 5 te ^ (- t ^ 2) dt = -1/10 int_0 ^ 5 e ^ (- t ^ 2) (- 2t) dt = -1/10 [e ^ (- t ^ 2)] 0 0 5 = -1/10 (e ^ -25 - e ^ 0) = 1/10 (1-e ^ -25)