Voda unikající na podlahu tvoří kruhový bazén. Poloměr bazénu se zvyšuje rychlostí 4 cm / min. Jak rychle roste plocha bazénu, když je poloměr 5 cm?

Odpovědět:

# 40pi # # "cm" ^ 2 "/ min" #

Vysvětlení:

Nejdříve bychom měli začít rovnicí, kterou známe v oblasti kruhu, bazénu a jeho poloměru:

# A = pir ^ 2 #

Chceme však vidět, jak rychle se oblast bazénu zvyšuje, což zní hodně jako rychlost … která zní hodně jako derivát.

Pokud vezmeme derivaci # A = pir ^ 2 # s ohledem na čas, # t #vidíme, že:

# (dA) / dt = pi * 2r * (dr) / dt #

(Nezapomeňte, že pravidlo řetězu platí na pravé straně, s # r ^ 2 #- toto je podobné implicitní diferenciaci.)

Chceme to určit # (dA) / dt #. Otázka nám to řekla # (dr) / dt = 4 # když to řeklo "poloměr bazénu se zvyšuje rychlostí #4# cm / min, "a také víme, že chceme najít # (dA) / dt # když # r = 5 #. Při připojení těchto hodnot vidíme, že:

# (dA) / dt = pi * 2 (5) * 4 = 40pi #

Abychom to řekli slovy, říkáme, že:

Plocha bazénu se zvyšuje rychlostí # bb40pi # cm# "" ^ bb2 #/ min, když je poloměr kruhu # bb5 # cm.

Výška trojúhelníku se zvyšuje rychlostí 1,5 cm / min, zatímco plocha trojúhelníku se zvyšuje rychlostí 5 cm2 / min. V jaké míře se mění základna trojúhelníku, když je nadmořská výška 9 cm a plocha je 81 čtverečních cm?

Jedná se o související problémy typu změny (změny). Zajímavé proměnné jsou a = výška A = plocha a protože plocha trojúhelníku je A = 1 / 2ba, potřebujeme b = základnu. Uvedené rychlosti změny jsou v jednotkách za minutu, takže (neviditelná) nezávislá proměnná je t = čas v minutách. My jsme dali: (da) / dt = 3/2 cm / min (dA) / dt = 5 cm "" ^ 2 / min A my jsme požádáni, abychom našli (db) / dt když a = 9 cm a A = 81 cm "" ^ 2 A = 1 / 2ba, rozlišující s ohledem na t, dostaneme: d / dt (A) = d / dt

Voda unikající z obrácené kónické nádrže rychlostí 10 000 cm3 / min a zároveň je voda čerpána do nádrže konstantní rychlostí Pokud má nádrž výšku 6 m a průměr nahoře je 4 m a pokud hladina vody stoupá rychlostí 20 cm / min, když je výška vody 2 m, jak zjistíte, jakou rychlostí se voda čerpá do nádrže?

Nechť V je objem vody v nádrži v cm ^ 3; nechť h je hloubka / výška vody v cm; a r je poloměr povrchu vody (nahoře) v cm. Vzhledem k tomu, že nádrž je obrácený kužel, tak i množství vody. Protože nádrž má výšku 6 ma poloměr v horní části 2 m, podobné trojúhelníky znamenají, že frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3 tak, že h = 3r. Objem invertovaného kužele vody je pak V = f {1} {3} r = {r} {3}. Nyní rozlišujeme obě strany s ohledem na čas t (v minutách), abychom získali frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdrac {dr} {dt} (pravidlo řetězu se

Když byl Janeův brodivý bazén nový, mohl být naplněn za 6 minut vodou z hadice. Nyní, když má bazén několik netěsností, trvá pouze 8 minut, aby veškerá voda unikla z celého bazénu. Jak dlouho to trvá, než zaplníte propustný bazén?

24 minut Pokud je celkový objem bazénu x jednotek, pak se do bazénu vrací každou minutu x / 6 jednotek vody. Podobně x / 8 jednotek vody unikají z bazénu každou minutu. Proto (+) x / 6 - x / 8 = x / 24 jednotek vody naplněné za minutu. V důsledku toho bude bazén naplněn 24 minut.