Dvě čísla mají rozdíl 20. Jak zjistíte čísla, pokud je součet jejich čtverců minimální?

Odpovědět:

#-10,10#

Vysvětlení:

Dvě čísla # n, m # takové # n-m = 20 #

Součet jejich čtverců je dán vztahem

# S = n ^ 2 + m ^ 2 # ale #m = n-20 # tak

# S = n ^ 2 + (n-20) ^ 2 = 2n ^ 2-40n + 400 #

Jak můžeme vidět, #S (n) # je parabola s minimem na

# d / (dn) S (n_0) = 4n_0-40 = 0 # nebo na # n_0 = 10 #

Čísla jsou

# n = 10, m = n-20 = -10 #

Odpovědět:

10 a -10

Vyřešeno bez kalkulu.

Vysvětlení:

V Cesareově odpovědi # d / (dn) S (n_0) # je počet. Uvidíme, jestli to dokážeme vyřešit bez kalkulu.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

#color (magenta) ("Nechť první číslo bude" x) #

Nechť je druhé číslo # x + 20 #

Soubor # "" y = x ^ 2 + (x + 20) ^ 2 #

# y = x ^ 2 + x ^ 2 + 40x + 400 #

# y = 2x ^ 2 + 40x + 400 larr "" y "je součet jejich čtverců" #

#color (red) ("Musíme tedy najít hodnotu x, která dává minimální hodnotu") # #color (červená) ("z" y) #

Tato rovnice je kvadratická a jako # x ^ 2 # termín je pozitivní, pak je jeho obecný tvar formy #U u#. Vrchol je tedy minimální hodnota pro # y #

Psát jako # y = 2 (x ^ 2 + 20x) + 400 #

To, co následuje, je součástí procesu dokončení náměstí.

Zvažte 20 z # 20x #

#color (magenta) ("První číslo je:" x _ ("vertex") = (- 1/2) xx20 = -10) #

První číslo je tedy # x = -10 #

Druhé číslo je # "" x + 20 = -10 + 20 = 10 #

# "" barva (zelená) (bar (ul (| barva (bílá) (2/2) "Dvě čísla jsou: -10 a 10" |)) # # "