Jak řešit integraci?

Odpovědět:

# Q = (15 / 2,0) #

# P = (3,9) #

# "Oblast" = 117/4 #

Vysvětlení:

Q je průsečík čáry x # 2x + y = 15 #

Chcete-li najít tento bod, nechte # y = 0 #

# 2x = 15 #

# x = 15/2 #

Tak # Q = (15 / 2,0) #

P je bod zachycení mezi křivkou a přímkou.

# y = x ^ 2 "" (1) #

# 2x + y = 15 "" (2) #

Sub #(1)# do #(2)#

# 2x + x ^ 2 = 15 #

# x ^ 2 + 2x-15 = 0 #

# (x + 5) (x-3) = 0 #

# x = -5 # nebo # x = 3 #

Z grafu je x souřadnice P pozitivní, takže můžeme odmítnout # x = -5 #

# x = 3 #

# y = x ^ 2 #

#=3^2#

#=9#

#:. P = (3,9) #

graf {(2x + y-15) (x ^ 2-y) = 0 -17,06, 18,99, -1,69, 16,33}

Teď pro oblast

Pro zjištění celkové rozlohy tohoto regionu můžeme najít dvě oblasti a přidat je dohromady.

To bude oblast pod # y = x ^ 2 # od 0 do 3 a oblast pod čarou od 3 do 15/2.

# "Oblast pod křivkou" = int_0 ^ 3 x ^ 2dx #

# = 1 / 3x ^ 3 _0 ^ 3 #

# = 1 / 3xx3 ^ 3-0 #

#=9#

Prostřednictvím integrace můžeme zpracovat oblast linky, ale je snazší ji považovat za trojúhelník.

# "Oblast pod řádkem" = 1 / 2xx9xx (15 / 2-3) #

# = 1 / 2xx9xx9 / 2 #

#=81/4#

#:. "celková plocha stínované oblasti" = 81/4 + 9 #

#=117/4#

Odpovědět:

Pro 3 a 4

Tomovy práce 10

Vysvětlení:

3

# int_0 ^ 5 f (x) dx = (int_0 ^ 1 + int_1 ^ 5) f (x) dx #

#:. int_1 ^ 5 f (x) dx = (int_0 ^ 5 - int_0 ^ 1) f (x) dx #

#= 1- (-2) = 3#

4

#int _ (- 2) ^ 3 f (x) dx = (int _ (- 2) ^ 1 + int_1 ^ 3) f (x) dx #

#:. int_ (3) ^ (- 2) f (x) dx = -int _ (- 2) ^ 3 f (x) dx #

# = - (int _ (- 2) ^ 1 + int_1 ^ 3) f (x) dx #

#= - (2 - 6) = 4#

Odpovědět:

Viz. níže:

Upozornění: Dlouhá odpověď!

Vysvětlení:

Pro (3):

Použití vlastnosti:

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

Proto:

# int_0 ^ 5 f (x) dx = int_0 ^ 1 f (x) dx + int_1 ^ 5 f (x) dx #

# 1 = -2 + x #

# x = 3 = int_1 ^ 5 f (x) dx #

Pro (4):

(stejná věc)

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

# int_-2 ^ 3 f (x) dx = int_-2 ^ 1 f (x) dx + int_1 ^ 3 f (x) dx #

# x = 2 + (- 6) #

# x = -4 = int_-2 ^ 3 f (x) dx #

Musíme však vyměnit limity integrálu, takže:

# int_3 ^ -2 f (x) dx = -int_-2 ^ 3 f (x) dx #

Tak:# int_3 ^ -2 f (x) dx = - (- 4) = 4 #

Pro 10 (a):

Máme dvě funkce protínající se na # P #, tak na # P #:

# x ^ 2 = -2x + 15 #

(Přepnula jsem funkci linky do tvaru svahu)

# x ^ 2 + 2x-15 = 0 #

# (x + 5) (x-3) = 0 #

Tak # x = 3 # jak jsme napravo od # y # osa #x> 0 #.

(zadávání # x = 3 # do některé z funkcí)

# y = -2x + 15 #

# y = -2 (3) + 15 #

# y = 15-6 = 9 #

Takže koordinace # P # je #(3,9)#

Pro # Q #, linie # y = -2x + 15 # škrty # y #-axis, takže # y = 0 #

# 0 = -2x + 15 #

# 2x = 15 #

# x = (15/2) = 7,5 #

Tak # Q # se nachází na adrese #(7.5, 0)#

Pro 10 (b).

Budu budovat dva integrály, abych našel oblast. Integrály budu řešit odděleně.

Oblast je:

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = int_O ^ P (x ^ 2) dx + int_P ^ Q (-2x + 15) dx #

(Řešení prvního integrálu)

# int_O ^ P (x ^ 2) dx = int_0 ^ 3 (x ^ 2) dx = x ^ 3/3 #

(nahradit limity do integrovaného výrazu, pamatujte:

Horní dolní mez najít hodnotu integrálu)

# 3 ^ 3/3 -0 = 9 = int_O ^ P (x ^ 2) dx #

(řešit druhý integrál)

# int_P ^ Q (-2x + 15) dx = int_3 ^ 7,5 (-2x + 15) dx = (- 2x ^ 2) / 2 + 15x = - x ^ 2 + 15x #

(náhradní limity: Upper-lower)

#-(15/2)^2+15(15/2)--3^2+15(3)#

#(-225/4)+(225/2)+9-45=(-225/4)+(450/4)+-36= (225/4)+(-144/4)=(81/4)#

# int_P ^ Q (-2x + 15) dx = (81/4) #

# int_O ^ Q f (x) dx = int_O ^ P (x ^ 2) dx + int_P ^ Q (-2x + 15) dx #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = 9 + (81/4) #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = 9 + (81/4) #

# A = (36/4) + (81/4) #

# A = (117/4) #