Voda unikající z obrácené kónické nádrže rychlostí 10 000 cm3 / min a zároveň je voda čerpána do nádrže konstantní rychlostí Pokud má nádrž výšku 6 m a průměr nahoře je 4 m a pokud hladina vody stoupá rychlostí 20 cm / min, když je výška vody 2 m, jak zjistíte, jakou rychlostí se voda čerpá do nádrže?
Nechť V je objem vody v nádrži v cm ^ 3; nechť h je hloubka / výška vody v cm; a r je poloměr povrchu vody (nahoře) v cm. Vzhledem k tomu, že nádrž je obrácený kužel, tak i množství vody. Protože nádrž má výšku 6 ma poloměr v horní části 2 m, podobné trojúhelníky znamenají, že frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3 tak, že h = 3r. Objem invertovaného kužele vody je pak V = f {1} {3} r = {r} {3}. Nyní rozlišujeme obě strany s ohledem na čas t (v minutách), abychom získali frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdrac {dr} {dt} (pravidlo řetězu se
Voda proudí do válcové nádoby o výšce 10 ft a poloměru 3 ft, rychlostí 5 "ft" ^ 3 / "min". V jaké míře stoupá hladina vody?
= (5) / (9 pi) ft / min Pro danou výšku h tekutiny ve válci nebo poloměru r je objem V = pi r ^ 2 h Rozlišení času wrt tečka V = 2 pi r dot rh + pi r ^ 2 bod h, ale tečka r = 0, tečka V = pi r ^ 2 bod h tečka h = tečka V / (pi r ^ 2) = (5) / (pi (3 ^ 2)) = (5) / (9 pi) ft / min
Během 12 hodin od 8 hodin do 8 hodin teplota klesala ustálenou rychlostí z 8 stupňů F na -16 stupňů F. Pokud teplota klesala každou hodinu stejnou rychlostí, jaká byla teplota ve 4 hodiny ráno?
Při 4:00 byla teplota -8 stupňů F. Nejprve nejprve poznáte rychlost poklesu teploty, kterou lze vyjádřit jako N = O + rt, kde N = nová teplota, O = stará teplota, r = rychlost zvýšení teploty nebo snížení a t = časové rozpětí. Vyplnění toho, co známe, nám dává: -16 = 8 + r 12 Řešení pro r nám dává: -16 - 8 = 8 - 8 + r12 -24 = r12 -24 / 12 = r12 / 12 r = -2, takže víme rychlost změny teploty je -2 stupně za hodinu. Takže vyplnění stejné rovnice pomocí nových známých informací nám dá