Předpokládejme, že na mírové konferenci je m Martians & n Earthlings. Abychom zajistili, že Marťané zůstanou na konferenci v klidu, musíme se ujistit, že žádné dva Marťané spolu nesedí, takže mezi dvěma Marťany je alespoň jeden pozemšťan (viz detail).

Odpovědět:

A) # (n! (n + 1)!) / ((n-m + 1)!) #

b) # (n! (n-1)!) / ((n-m)!) #

Vysvětlení:

Kromě některých dalších úvah budeme pro počítání používat tři běžné techniky.

Zaprvé využijeme skutečnosti, že pokud existují # n # způsoby, jak udělat jednu věc a # m # způsoby, jak dělat jiné, pak za předpokladu, že úkoly jsou nezávislé (to, co můžete udělat pro jednoho, nespoléhejte na to, co jste dělali v jiném), existuje # nm # jak to udělat. Například, pokud mám pět košile a tři páry kalhot, pak tam jsou #3*5=15# oblečení, které mohu udělat.

Za druhé, použijeme počet způsobů objednání # k # objekty #k! #. Je to proto, že existují # k # způsob výběru prvního objektu a pak # k-1 # způsoby výběru druhého, a tak dále a tak dále. Celkový počet způsobů je tedy #k (k-1) (k-2) … (2) (1) = k! #

Nakonec použijeme počet způsobů výběru # k # objekty ze sady # n # objekty # ((n), (k)) = (n!) / (k! (n-k)!) # (vyslovováno jako n zvolte k). Zde je uveden přehled toho, jak dospět k tomuto vzorci.

a) Pokud bychom na počátku přehlíželi rozdělení, existují #m! # způsoby, jak nařídit Marťanům a #n! # způsoby, jak objednávat Pozemšťany. Konečně musíme vidět, kde jsou umístěny Marťané. Protože každý Marťan musí být umístěn buď na konci, nebo mezi dvěma Pozemšťany, existuje # n + 1 # Místa, která mohou sedět (jedna vlevo od každého Pozemšťana, a pak ještě jeden vpravo). Jak je # m # Marťané, to znamená, že tam jsou # ((n + 1), (m)) = ((n + 1)!) / (m! (n + 1-m)!) # možné způsoby jejich umístění. Tak je možné celkové uspořádání sedadel

#n! m! ((n + 1)!) / (m! (n + 1-m)!) = (n! (n + 1)!) / ((n-m + 1)!) #

b) Tento problém je podobný výše uvedenému. Aby to bylo jednodušší, pojďme si vybrat Pozemšťana a zavolat mu na prezidenta. Protože nezáleží na tom, jak se kruh otáčí, namísto odkazování na uspořádání sedadel na základě absolutního uspořádání budeme uvažovat o uspořádání sedadel na základě jejich vztahu k prezidentovi.

Stejně jako výše, pokud začneme od prezidenta a pokračujeme ve směru hodinových ručiček kolem kruhu, můžeme spočítat počet způsobů objednání zbývajících účastníků. Jak je # m # Marťané a # n-1 # zbývající pozemšťané, tam jsou #m! # způsoby, jak nařídit Marťanům a # (n-1)! způsoby, jak objednat zbývající Pozemšťany.

Dále musíme znovu postavit Marťany. Tentokrát nemáme na konci žádné další místo, takže jsou jen # n # mohou sedět. Pak tam jsou # ((n), (m)) = (n!) / (m! (n-m)!) # způsoby, jak je umístit. Tak je možné celkové uspořádání sedadel

# (n-1)! m! (n!) / (m! (n-m)!) = (n! (n-1)!) / ((n-m)!) #