Jaká je derivace f (x) = x (sqrt (1 - x ^ 2))?

Odpovědět:

# (df) / dx = sqrt (1-x ^ 2) - x ^ 2 / (sqrt (1-x ^ 2)) #.

Vysvětlení:

Budeme vyžadovat použití dvou pravidel: pravidla produktu a pravidla řetězce. Pravidlo výrobku uvádí, že:

# (d (fg)) / dx # = # (df) / dx * g (x) + f (x) * (dg) / dx #.

Řetězové pravidlo uvádí, že:

# (dy) / dx = (dy) / (du) (du) / dx #, kde # u # je funkcí #X# a # y # je funkcí # u #.

Proto, # (df) / dx = (x) '* (sqrt (1-x ^ 2)) + x * (sqrt (1-x ^ 2))' #

Najít derivaci #sqrt (1-x ^ 2) #, použijte pravidlo řetězu, s

#u = 1-x ^ 2: (sqrtu) '= 1 / (2sqrtu) * u' #

# = - (2x) / (2 (sqrt (1-x ^ 2)) # # = -x / (sqrt (1-x ^ 2)) #.

Nahrazení tohoto výsledku do původní rovnice:

# (df) / dx = sqrt (1-x ^ 2) - x ^ 2 / (sqrt (1-x ^ 2)) #.