K je reálné číslo, které splňuje následující vlastnost: "pro každé 3 positiv čísla, a, b, c; jestliže a + b + c K pak abc K" Můžete najít největší hodnotu K?

Odpovědět:

# K = 3sqrt (3) #

Vysvětlení:

Pokud dáme:

# a = b = c = K / 3 #

Pak:

#abc = K ^ 3/27 <= K #

Tak:

# K ^ 2 <= 27 #

Tak:

#K <= sqrt (27) = 3sqrt (3) #

Jestli máme # a + b + c <= 3sqrt (3) # pak to můžeme říct # a = b = c = sqrt (3) # udává maximální možnou hodnotu # abc #:

Pokud například opravíme #c in (0, 3sqrt (3)) # a nechte #d = 3sqrt (3) -c #, pak:

# a + b = d #

Tak:

#abc = a (d-a) c #

#color (bílá) (abc) = (ad-a ^ 2) c #

#color (bílá) (abc) = (d ^ 2 / 4- (a ^ 2-2 (a) (d / 2) + (d / 2) ^ 2)) c #

#color (bílá) (abc) = (d ^ 2- (a-d / 2) ^ 2) c #

který má svou maximální hodnotu, když # a = d / 2 # a # b = d / 2 #, to je kdy # a = b #.

Podobně, pokud to vyřešíme # b #, pak zjistíme, že maximum je kdy # a = c #.

Proto maximální hodnota # abc # je dosaženo, když # a = b = c #.

Tak # K = 3sqrt (3) # je maximální možná hodnota # a + b + c # takové #abc <= K #