Jak lze použít binomické řady pro rozšíření sqrt (z ^ 2-1)?

Odpovědět:

#sqrt (z ^ 2-1) = i 1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + … #

Vysvětlení:

Měla bych rád dvojí kontrolu, protože jako student fyziky se zřídka dostanu dál # (1 + x) ^ n ~~ 1 + nx # pro malé x, takže jsem trochu rezavý. Binomiální řada je specializovaný případ binomického teorému, který uvádí, že

# (1 + x) ^ n = součet (k = 0) ^ (oo) ((n), (k)) x ^ k #

S # ((n), (k)) = (n (n-1) (n-2) … (n-k + 1) / (k!) #

To, co máme, je # (z ^ 2-1) ^ (1/2) #není to správný formulář. Chcete-li to napravit, vzpomeňte si to # i ^ 2 = -1 # takže máme:

# (i ^ 2 (1-z ^ 2)) ^ (1/2) = i (1-z ^ 2) ^ (1/2) #

Toto je nyní ve správné formě #x = -z ^ 2 #

Rozšíření bude proto:

#i 1 -1 / 2z ^ 2 + (1/2 (-1/2)) / 2z ^ 4 - (1/2 (-1/2) (- 3/2)) / 6z ^ 6 +… #

#i 1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + … #