Jak lze použít binomické řady k rozšíření sqrt (1 + x)?

Odpovědět:

#sqrt (1 + x) = (1 + x) ^ (1/2) = součet (http: // 2) _k / (k!) x ^ k # s #x v CC #

Použijte zobecnění binomického vzorce ke komplexním číslům.

Vysvětlení:

Tam je zobecnění binomického vzorce ke komplexním číslům.

Zdá se, že obecný vzorec binomické řady je # (1 + z) ^ r = součet ((r) _k) / (k!) Z ^ k # s # (r) _k = r (r-1) (r-2) … (r-k + 1) # (podle Wikipedie). Pojďme to aplikovat na váš výraz.

Je to samozřejmě mocenská série, pokud chceme mít šanci, že se to nestane, musíme nastavit #absx <1 # a to je to, jak expandujete #sqrt (1 + x) # s binomickou řadou.

Nebudu ukázat, že vzorec je pravdivý, ale není to příliš těžké, stačí vidět, že komplexní funkce definovaná # (1 + z) ^ r # na jednotkovém disku je holomorphic, vypočítá všechny jeho derivace na 0, a to vám dá Taylorovu formulaci funkce, což znamená, že ji můžete vytvořit jako mocninu na jednotkovém disku, protože #absz <1 #, proto výsledek.