Jak zjistíte součet nekonečné geometrické řady 10 (2/3) ^ n, když n = 2?

Odpovědět:

Odpověď zní buď #40/9# nebo #40/3# záleží na tom, co bylo míněno otázkou.

Vysvětlení:

Dobře #n = 2 # pak tam není suma, odpověď je prostě:

#10(2/3)^2 = 10(4/9) = 40/9#

Ale možná, že otázka měla chtít požádat, aby nekonečný součet začal # n = 2 # taková rovnice je:

#sum_ (n = 2) ^ infty 10 (2/3) ^ n #

V tomto případě bychom ji vypočítali tak, že nejprve vezmeme v úvahu, že jakoukoliv geometrickou řadu lze považovat za formu:

#sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n #

V tomto případě má naše série #a = 10 # a #r = 2/3 #.

Všimneme si také, že:

#sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n = asum_ (n = 0) ^ infty r ^ n #

Můžeme tedy jednoduše spočítat součet geometrických řad # (2/3) ^ n # a pak vynásobte tento součet #10# dospět k našemu výsledku. Díky tomu jsou věci jednodušší.

Rovněž máme rovnici:

#sum_ (n = 0) ^ infty r ^ n = 1 / (1-r) #

To nám umožňuje vypočítat součet série začínající od # n = 0 #. Ale chceme to vypočítat # n = 2 #. Abychom toho dosáhli, jednoduše odečteme # n = 0 # a # n = 1 # podmínek. Napsání prvních několika termínů součtu můžeme vidět, že to vypadá takto:

#1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + …#

Vidíme, že:

#sum_ (n = 2) ^ infty 10 (2/3) ^ n = 10sum_ (n = 2) ^ infty (2/3) ^ n = 10 sum_ (n = 0) ^ infty (2/3) ^ n - (1 + 2/3) #

#=101/(1-(2/3)) - (1 + 2/3)#

#= 103 - 5/3 = 109/3 - 5/3 = 40/3#