Jaká je délka žebříku, pokud je žebřík délky L nesen vodorovně kolem rohu od haly o šířce 3 stopy do haly o šířce 4 stopy?

Uvažujme o segmentu čáry, který běží od # (x, 0) # na # (0, y) # přes vnitřní roh na #(4,3)#.

Minimální délka tohoto segmentu čáry bude maximální délka žebříku, kterou lze manévrovat kolem tohoto rohu.

Předpokládejme, že #X# je mimo #(4,0)# nějakým měřítkovým faktorem, # s #, ze 4, takže

#x = 4 + 4s = 4 (1 + s) #

pozor na # (1 + s) # objevovat se později jako hodnota, která má být z něčeho vyčtena.

Podobnými trojúhelníky to můžeme vidět

#y = 3 (1 + 1 / s) #

Pythagorovou teorémou můžeme vyjádřit čtverec délky úsečky jako funkci # s #

# L ^ 2 (s) = 3 ^ 2 (s ^ (- 2) + 2s ^ (- 1) + 1) + 4 ^ 2 (1 + 2s + s ^ 2) #

Normálně bychom měli vzít derivaci L (s), abychom našli minimum, ale v tomto případě je snazší vzít derivaci # L ^ 2 (s) #.

(Všimněte si, že pokud #L (s) # je minimum jako # s = s_0 #, pak # L ^ 2 (s) # bude také minimální # s = s_0 #.)

Převzetí první derivace # L ^ 2 (s) # a nastavíme na nulu:

# 3 ^ 2 (-2s ^ (- 3) - 2s ^ (- 2)) + 4 ^ 2 (2 - 2s) = 0 #

Násobení # s ^ 3 # a pak vyřazení # 2 (1 + s) #

nám umožňuje řešit # s #

# s = (3/4) ^ (2/3) #

Zapojení této hodnoty zpět do rovnice pro # L ^ 2 (s) # a vezmeme-li druhou odmocninu (použil jsem tabulku), dostaneme

maximální délka žebříku # = 9.87 stop # (Cca.)