Jak najdete MacLaurinův vzorec pro f (x) = sinhx a použijte jej k přiblížení f (1/2) během 0,01?

Odpovědět:

#sinh (1/2) ~ ~ 0.52 #

Vysvětlení:

Známe definici #sinh (x) #:

#sinh (x) = (e ^ x-e ^ -x) / 2 #

Protože známe Maclaurinovu řadu # e ^ x #, můžeme ji použít k vytvoření jedné pro #sinh (x) #.

# e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) … #

Můžeme najít sérii # e ^ -x # nahrazením #X# s #-X#:

# e ^ -x = součet (n = 0) ^ oo (-x) ^ n / (n!) = součet (n = 0) ^ oo (-1) ^ n / (n!) x ^ n = 1 -x + x ^ 2/2-x ^ 3 / (3!) … #

Tyto dva od sebe můžeme odečíst, abychom našli čitatele # sinh # definice:

#color (bílá) (- e ^ -x.) e ^ x = barva (bílá) (….) 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) + x ^ 4 / (4!) + X ^ 5 / (5!) … #

#color (bílá) (e ^ x) -e ^ -x = -1 + xx ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) - x ^ 4 / (4!) + x ^ 5 / (5!) … #

# e ^ xe ^ -x = barva (bílá) (lllllllll) 2xcolor (bílá) (lllllllll) + (2x ^ 3) / (3!) barva (bílá) (lllllll) + (2x ^ 5) / (5!) … #

Vidíme, že všechny sudé termíny se zruší a všechny liché termíny se zdvojnásobí. Tento vzor můžeme reprezentovat takto:

# e ^ x-e ^ -x = součet (n = 0) ^ oo 2 / ((2n + 1)!) x ^ (2n + 1) #

Pro dokončení #sinh (x) # série, musíme to rozdělit #2#:

# (e ^ x-e ^ -x) / 2 = sinh (x) = sum_ (n = 0) ^ oo cancel2 / (cancel2 (2n + 1)!) x ^ (2n + 1) = #

# = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = x + x ^ 3 / (3!) + x ^ 5 / (5!) … #

Nyní chceme spočítat #f (1/2) # s přesností nejméně #0.01#. Známe tuto obecnou formu Lagrangeovy chyby vázané na n-tého stupně polynomu taylor # x = c #:

# | R_n (x) | <= | M / ((n + 1)!) (X-c) ^ (n + 1) | kde # M # je horní hranice n-té derivace v intervalu od #C# na #X#.

V našem případě je expanze série Maclaurin # c = 0 # a # x = 1:

# | R_n (x) | <= | M / ((n + 1)!) (1/2) ^ (n + 1) |

Deriváty vyššího řádu #sinh (x) # buď #sinh (x) # nebo #cosh (x) #. Pokud vezmeme v úvahu definice pro ně, vidíme to #cosh (x) # bude vždy větší než #sinh (x) #, takže bychom měli vymyslet # M #-bound pro #cosh (x) #

Hyperbolická kosinusová funkce se stále zvyšuje, takže největší hodnota na intervalu bude na #1 / 2#:

#sinh (1/2) = (e ^ (1/2) + e ^ (- 1/2)) / 2 = (sqrte + 1 / sqrte) / 2 = sqrte / 2 + 1 / (2sqrte) = M #

Nyní připojíme tuto chybu do Lagrangeovy chyby:

# | R_n (x) | <= (sqrte / 2 + 1 / (2sqrte)) / ((n + 1)!) (1/2) ^ (n + 1) #

Chceme # | R_n (x) | # být menší než #0.01#, a tak se snažíme # n # hodnoty, dokud se nedostaneme k tomuto bodu (menší množství termínů v polynomu, tím lépe). Zjistili jsme to # n = 3 # je první hodnota, která nám poskytne chybu vázanou menší než #0.01#, takže musíme použít Taylorův polynom.

#sinh (1/2) ~> sum_ (n = 0) ^ 3 (1/2) ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = 336169/645120 ~ ~ 0,52 #