Jedno kladné číslo je o 3 méně než dvakrát. Součet jejich čtverců je 117. Jaká jsou celá čísla?

Odpovědět:

#9# a #6#

Vysvětlení:

Čtverce prvních několika kladných čísel jsou:

#1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100#

Jediní dva, jejichž součet je #117# jsou #36# a #81#.

Odpovídají podmínkám:

#color (modrá) (6) * 2-3 = barva (modrá) (9) #

a:

#color (modrá) (6) ^ 2 + barva (modrá) (9) ^ 2 = 36 + 81 = 117 #

Takže dvě celá čísla jsou #9# a #6#

Jak bychom je mohli formálně najít?

Předpokládejme, že celá čísla jsou # m # a # n #, s:

#m = 2n-3 #

Pak:

# 117 = m ^ 2 + n ^ 2 = (2n-3) ^ 2 + n ^ 2 = 4n ^ 2-12n + 9 + n ^ 2 = 5n ^ 2-12n + 9 #

Tak:

# 0 = 5 (5n ^ 2-12n-108) #

#color (bílá) (0) = 25n ^ 2-60n-540 #

#color (bílá) (0) = (5n) ^ 2-2 (5n) (6) + 6 ^ 2-576 #

#color (bílá) (0) = (5n-6) ^ 2-24 ^ 2 #

#color (bílá) (0) = ((5n-6) -24) ((5n-6) +24) #

#color (bílá) (0) = (5n-30) (5n + 18) #

#color (bílá) (0) = 5 (n-6) (5n + 18) #

Proto:

#n = 6 "" # nebo # "" n = -18 / 5 #

Zajímají nás pouze pozitivní celočíselná řešení:

#n = 6 #

Pak:

#m = 2n-3 = 2 (barva (modrá) (6)) - 3 = 9 #