X ^ 4-10x ^ 2 + 1 = 0 má jeden kořen x = sqrt (2) + sqrt (3). Jaké jsou další tři kořeny a proč?

Odpovědět:

Další tři kořeny jsou #x = sqrt (2) -sqrt (3) #, #x = -sqrt (2) + sqrt (3) # a #x = -sqrt (2) -sqrt (3) #. Pokud jde o proč, dovolte mi, abych vám řekl příběh …

Vysvětlení:

Pan Rational žije ve městě Algebra.

Zná všechna čísla formuláře # m / n # kde # m # a # n # jsou celá čísla a #n! = 0 #.

Je docela rád, že řeší polynomy jako # 3x + 8 = 0 # a # 6x ^ 2-5x-6 = 0 #, ale existuje mnoho těch, které ho skládají.

Dokonce i zdánlivě jednoduchý polynom # x ^ 2-2 = 0 # zdá se, že je neřešitelný.

Jeho bohatý soused, pan Real, se nad ním lituje. „To, co potřebujete, je to, co se nazývá druhá odmocnina #2#. Tady to jdete. “S těmito slovy pan Real předal záhadné lesklé modré číslo # R_2 # Rationalovi. Jediné, co je o tomto čísle řečeno, je to # R_2 ^ 2 = 2 #.

Pan Rational se vrací ke svému studiu a hraje s tímto tajemným # R_2 #.

Po chvíli zjistí, že může přidávat, odečítat, násobit a dělit čísla formuláře # a + b R_2 # kde #A# a # b # jsou racionální a končí čísly stejné formy. Také si to všimne # x ^ 2-2 = 0 # má jiné řešení, jmenovitě # -R_2 #.

Nyní je schopen vyřešit ne jen # x ^ 2-2 = 0 #, ale # x ^ 2 + 2x-1 = 0 # a mnoho dalších.

Mnoho dalších polynomů se stále vyhýbá řešení. Například, # x ^ 2-3 = 0 #, ale pan Real je šťastný, že mu dá lesklé zelené číslo # R_3 # který to vyřeší.

Pan Rational brzy zjistí, že dokáže vyjádřit všechna čísla, která může učinit # a + b R_2 + c R_3 + d R_2 R_3 #, kde #A#, # b #, #C# a # d # jsou racionální.

Jednoho dne se pan Rational vydá na řešení # x ^ 4-10x ^ 2 + 1 = 0 #. To zjistí # x = R_2 + R_3 # je řešením.

Než hledá další řešení, narazí na svého bližního, pane Real. Děkuji panu Realovi za dar # R_2 # a # R_3 #, ale má o nich dotaz. "Zapomněl jsem se zeptat:", říká, "Jsou pozitivní nebo negativní?". „Nemyslel jsem si, že byste se o to staral,“ řekl pan Real. "Pokud řešíte polynomy s racionálními koeficienty, nezáleží na tom. Pravidla, která jste našli pro přidávání, odčítání, násobení a dělení nových čísel, fungují stejně dobře s oběma. volal # R_2 # je to, co většina lidí volá # -sqrt (2) # a toho, kterého jste volali # R_3 # je to, co většina lidí volá #sqrt (3) #'.

Takže pro nová čísla formuláře pana Rationala # a + b R_2 + c R_3 + d R_2 R_3 # nezáleží na tom, zda # R_2 # a / nebo # R_3 # jsou pozitivní nebo negativní z hlediska řešení polynomů s racionálními koeficienty.