Jaká je metoda expanze kofaktoru k nalezení determinantu?

Ahoj !

Nechat #A = (a_ {i, j}) # být maticí velikosti n # n.

Vyberte sloupec: číslo sloupce # j_0 # (Píšu: " # j_0 #sloupec ").

cofactor expanzní vzorec (nebo Laplaceův vzorec) pro # j_0 #sloupec je

# det (A) = součet {i = 1} ^ n a_ {i, j_0} (-1) ^ {i + j_0} Delta_ {i, j_0} #

kde # Delta_ {i, j_0} # je determinant matice #A# bez jeho # i #a jeho # j_0 #- sloupec; tak, # Delta_ {i, j_0} # je určujícím faktorem velikosti # (n-1) #.

Všimněte si, že číslo # (- 1) ^ {i + j_0} Delta_ {i, j_0} # je nazýván kofaktor míst # (i, j_0) #.

Možná to vypadá komplikovaně, ale je to snadné pochopit s příkladem. Chceme spočítat # D #:

Pokud se vyvineme ve 2. sloupci, dostanete

tak:

Konečně, # D = 0 #.

Chcete-li být efektivní, musíte si vybrat linku, která má spoustu nul: součet bude velmi jednoduché spočítat!

Poznámka. Protože # det (A) = det (A ^ {T}) #, můžete také zvolit řádek spíše sloupec. Vzorec se tedy stává

# det (A) = součet {j = 1} ^ n a_ {i_0, j} (-1) ^ {i_0 + j} Delta_ {i_0, j} #

kde # i_0 # je číslo zvoleného řádku.