Jak mohu vyřešit 2sinx = cos (x / 3)?

Odpovědět:

Naše přibližná řešení jsou:

# x = {163.058 ^ circ, 703.058 ^ circ, 29.5149 ^ circ, 569.51 ^ circ, -192.573 ^ circ nebo -732.573 ^ circ} + 1080 ^ circ k quad #

pro celé číslo # k #.

Vysvětlení:

# 2 sin x = cos (x / 3) #

Tohle je dost těžké.

Začněme nastavením # y = x / 3 # tak # x = 3y # a nahrazení. Pak můžeme použít vzorec trojitého úhlu:

# 2 sin (3y) = cos y #

# 2 (3 sin y - 4 sin ^ 3 y) = cos y #

Udělejme si čtvereček, takže všechno píšeme # sin ^ 2 y #. To pravděpodobně zavede cizí kořeny.

# 4 sin ^ 2y (3 - 4 sin ^ 2y) ^ 2 = cos ^ 2 y = 1 - sin ^ 2 y #

Nechat # s = sin ^ 2 y #. Jsou nazývány čtvercové sinus šíří v Rational Trigonometry.

# 4 s (3 - 4s) ^ 2 = 1 - s #

# 4 s (9 - 24 s + 16 s ^ 2) = 1 - s #

# 64 s ^ 3 - 96 s ^ 2 + 37 s - 1 = 0 #

To je kubická rovnice se třemi skutečnými kořeny, kandidáty na čtverečky # 3x. Mohli bychom použít kubický vzorec, ale to povede jen k určitým kořenům složitých čísel, která nejsou zvlášť užitečná. Pojďme si vzít numerické řešení:

# s 0.66035 nebo s 0.029196 nebo s 0.81045 #

#x = 3y = 3 arcsin (pm sqrt {s}) #

Pojďme pracovat ve stupních. Naše možná přibližná řešení jsou:

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.66035}) přibližně pm 163.058 ^ circ nebo pm 703.058 ^ circ #

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.029196}) přibližně pm 29.5149 ^ circ nebo pm 569.51 ^ circ #

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.81045}) cca pm 192.573 ^ circ nebo pm 732.573 ^ circ #

Uvidíme, jestli některá z těchto prací. Nechat #e (x) = 2 sin x - cos (x / 3) #

#e (163.058 ^ circ) cca 0.00001 quad # to je řešení.

#e (-163.058 ^ circ) cca -1.17 quad # není řešením.

Nejvýše jeden z #odpoledne# pár bude fungovat.

Ještě deset.

#e (703.058 ^ circ) cca 0.00001 quad sqrt #

#e (-703.058 ^ circ) quad # ani náhodou

#e (29,5149 ^ circ) cca 10 ^ {- 6} quad sqrt #

#e (-29,5149 ^ circ) quad # ani náhodou

#e (569,51 ^ circ) cca 10 ^ {- 4} quad sqrt #

#e (-569,51 ^ circ) quad # ani náhodou

#e (192,573 ^ circ) přibl. ani náhodou

#e (-192,573 ^ circ) cca 0,00001 quad sqrt #

#e (732,573 ^ circ) přibl. ani náhodou

#e (-732,573 ^ circ) cca 0,00001 quad sqrt #

Arcsin je dodáván s # + 360 ^ circ k #a faktor tři to dělá # 1080 ^ circ k. #

OK, naše přibližná řešení jsou:

# x = {163.058 ^ circ. pro celé číslo # k #.