Jaká je povrchová plocha pyramidy vysoké 11 cm, jejíž základnou je rovnostranný trojúhelník s obvodem 62 cm? Zobrazit práci.

Odpovědět:

´# 961 / sqrt (3) cm ^ 2 ~ = 554,834 cm ^ 2 #

Vysvětlení:

K lepšímu porozumění viz níže uvedené obrázky

Zabýváme se pevností 4 ploch, tj. Čtyřstěnem.

Úmluvy (viz obr. 1)

zavolal jsem

• # h # výška čtyřstěnu,
• #h "'" # šikmé výšky nebo výšky šikmých ploch,
• # s # každá ze stran rovnostranného trojúhelníku základny čtyřstěnu,
• #E# Pokud není k dispozici žádný z okrajů šikmých trojúhelníků # s #.

Jsou tu také

• # y #, výška rovnostranného trojúhelníku základny čtyřstěnu,
• a #X#, apothegm tohoto trojúhelníku.

Obvod #triangle_ (ABC) # je rovna 62, poté:

# s = 62/3 #

Na obr. 2 je vidět

#tan 30 ^ @ = (s / 2) / y # => # y = (s / 2) * 1 / (sqrt (3) / 3) = 31 / zrušit (3) * zrušit (3) / sqrt (3) = 31 / sqrt (3) ~ = 17,898 #

Tak

#S_ (trojúhelník (ABC)) = (s * y) / 2 = (62/3 * 31 / sqrt (3)) / 2 = 961 / (3sqrt (3)) ~ = 184,945 #

a to

# s ^ 2 = x ^ 2 + x ^ 2-2x * x * cos 120 ^ @ #

# s ^ 2 = 2x ^ 2-2x ^ 2 (-1/2) #

# 3x ^ 2 = s ^ 2 # => # x = s / sqrt (3) = 62 / (3sqrt (3) #

Na obr. 3 je vidět

# e ^ 2 = x ^ 2 + h ^ 2 = (62 / (3sqrt (3)) ^ 2 + 11 ^ 2 = 3844/27 + 121 = (3844 + 3267) / 27 = 7111/27 # => # e = sqrt (7111) / (3sqrt (3)) #

Na obr. 4 je vidět

# e ^ 2 = h "'" ^ 2+ (s / 2) ^ 2 #

#h "'" ^ 2 = e ^ 2- (s / 2) ^ 2 = (sqrt (7111) / (3sqrt (3))) 2- 2- (31/3) ^ 2 = (7111-3 * 1089) / 27 = 3844/27 #

#h "'" = 62 / (3sqrt (3)) ~ = 11,932 #

Plocha jednoho šikmého trojúhelníku

#S_ ("šikmý" trojúhelník) = (s * h "'") / 2 = (62/3 * 62 / (3sqrt (3)) / 2 = 1922 / (9sqrt (3)) ~ = 123,296 #

Pak je celková plocha

# S_T = S_ (trojúhelník (ABC)) + 3 * S _ ("šikmý" trojúhelník) = 961 / (3sqrt (3)) + 1922 / (3sqrt (3)) = 961 / sqrt (3) cm ^ 2 ~ = 554,834 cm ^ 2 #