Jaká je rovnice tečné přímky f (x) = (x-3) / (x-4) ^ 2 při x = 5?

Rovnice tečny je ve tvaru:

# y = barva (oranžová) (a) x + barva (fialová) (b) #

kde #A# je sklon této přímky.

Chcete-li najít sklon této tečné čáry k #f (x) # v bodě # x = 5 # měli bychom rozlišovat #f (x) #

#f (x) # je kvocient funkce formuláře # (u (x)) / (v (x)) #

kde #u (x) = x-3 # a #v (x) = (x-4) ^ 2 #

#color (modrá) (f '(x) = (u' (x) v (x) -v '(x) u (x)) / (v (x)) ^ 2) #

#u '(x) = x'-3' #

#color (červená) (u '(x) = 1) #

#v (x) # je složená funkce, takže musíme použít pravidlo řetězu

nechat #g (x) = x ^ 2 # a #h (x) = x-4 #

#v (x) = g (h (x)) #

#color (červená) (v '(x) = g' (h (x)) * h '(x)) #

#g '(x) = 2x # pak

#g '(h (x)) = 2 (h (x)) = 2 (x-4) #

#h '(x) = 1 #

#color (červená) (v '(x) = g' (h (x)) * h '(x)) #

#color (červená) (v '(x) = 2 (x-4) #

#color (modrá) (f '(x) = (u' (x) v (x) -v '(x) u (x)) / (v (x)) ^ 2) #

#f '(x) = (1 * (x-4) ^ 2-2 (x-4) (x-3)) / ((x-4) ^ 2) ^ 2 #

#f '(x) = ((x-4) ^ 2-2 (x-4) (x-3)) / (x-4) ^ 2 #

#f '(x) = ((x-4) (x-4-2 (x-3))) / (x-4) ^ 4 #

#f '(x) = ((x-4) (x-4-2x + 6)) / (x-4) ^ 4 #

#f '(x) = ((x-4) (- x + 2)) / (x-4) ^ 4 #

zjednodušení společného faktoru # x-4 # mezi čitatelem a jmenovatelem

#color (modrá) (f '(x) = (- x + 2) / (x-4) ^ 3) #

Protože tečná čára prochází bodem # x = 5 # tak můžeme najít hodnotu svahu #A# střídáním # x = 5 # v # f '(x) #

#color (oranžová) (a = f '(5)) #

#a = (- 5 + 2) / (5-4) ^ 3 #

# a = -3 / 1 ^ 3 #

#color (oranžová) (a = -3) #

Vzhledem k abscendě bodu tečnosti #color (hnědý) (x = 5) # Pojďme

umožňuje najít svá souřadnice # y = f (5) #

#color (hnědý) (y = f (5)) = (5-3) / (5-4) ^ 4 #

# y = 2/1 #

#color (hnědý) (y = 2) #

Se souřadnicemi tečného bodu #color (hnědý) ((5; 2)) # a svahu #color (oranžová) (a = -3) # Pojďme najít #color (violet) (b) #

umožňuje nahradit všechny známé hodnoty v rovnici tečny a najít hodnotu #color (violet) (b) #

#color (hnědý) (y) = barva (oranžová) (a) barva (hnědá) (x) + barva (fialová) (b) #

# 2 = -3 (5) + barva (fialová) (b) #

# 2 = -15 + barva (fialová (b) #

# 17 = barva (fialová) (b) #

proto rovnice tečné přímky v bodě #color (hnědý) ((5; 2)) # je:

# y = -3x + 17 #