Vyřešte otázku 39?

Odpovědět:

B

Vysvětlení:

Nejdříve bychom měli využít skutečnosti, že čísla musí být konsekutivní, a to tak, že zavoláme čísla, která si zvolíme # n-1, n, n + 1 #, kde pokud budeme dodržovat omezení # n # musí být mezi #-9# a #9# včetně.

Za druhé, všimněte si, že pokud dostaneme určitou hodnotu pro konkrétní # a, b, c #, můžeme vyměnit kolem těchto specifických hodnot, ale stále dostáváme stejný výsledek. (Věřím, že se to nazývá permiable, ale zapomeňte na správný termín)

Můžeme to prostě nechat # a = n-1 #,# b = n #,# c = n + 1 #, nyní připojíme:

# (a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 + 3abc) / (a + b + c) ^ 2 #

# = ((n-1) ^ 3 + n ^ 3 + (n + 1) ^ 3 + 3 (n-1) (n) (n + 1)) / (n-1 + n + n + 1) ^ 2 #

# = (n ^ 3-3n ^ 2 + 3n-1 + n ^ 3 + n ^ 3 + 3n ^ 2 + 3n + 1 + 3n (n ^ 2-1)) / (3n) ^ 2 #

# = (n ^ 3 + 3n + n ^ 3 + n ^ 3 + 3n + 3n ^ 3-3) / (9n ^ 2) #

# = (6n ^ 3 + 6n-3) / (9n ^ 2) #

# = (2n ^ 3 + 2n-1) / (3n ^ 2) #

Nyní je naším problémem zjistit, jaké hodnoty # -9 <= n <= 9 # výraz udává celočíselné hodnoty, kolik různých hodnot dostaneme.

Budu pokračovat v řešení v samostatné odpovědi, aby bylo snadnější číst.

Odpovědět:

Část 2 mého sol'n. To bude pomocí modulární aritmetiky, ale pokud s ní nebudete obeznámeni, vždy existuje možnost subbing ve všech potřebných hodnotách # n #

Vysvětlení:

Protože výraz musí být celočíselná hodnota, musí dolní část přesně dělit horní. Čitatel by tedy měl mít faktor 3. A proto bychom měli použít modulární aritmetiku.

Zkontrolujte, zda n splňuje: # 2n ^ 3 + 2n-1- = 0 mod3 #

# 2n ^ 3 + 2n- = 1 mod3 #

# 2n ^ 3 + 2n - = - 2 mod3 #

# n ^ 3 + n - = - 1 mod3 #

Nyní případy:

1. Snažíme se # n = 3k #

# LHS = (3k) ^ 3 + 3k #

# = 3 (9k ^ 3 + k) - = 0 mod3 #, který nefunguje

2. Snažíme se # n = 3k + 1 #

# LHS = (3k + 1) ^ 3 + (3k + 1) #

# = (3k + 1) ^ 3 + (3k + 1) #

# = 27k ^ 3 + 27k ^ 2 + 27k + 1 + 3k + 1 #

# - = 2 - = - 1 mod3 #, který funguje

3. Snažíme se # n = 3k-1 #:

# LHS = (3k-1) ^ 3 + (3k-1) #

# = 27k ^ 3-27k ^ 2 + 27k-1 + 3k-1 #

#-=-2-=1#, který nefunguje

Tak to usuzujeme # n # musí být ve formě # 3k + 1 #, nebo jeden více než násobek 3. Vzhledem k naší škále pro n, bytí # -9 <= n <= 9 #, máme možné hodnoty:

# n = -8, -5, -2,1,4,7 #.

V tomto okamžiku byste mohli použít tuto skutečnost # n = 3k + 1 #, ale s pouze 6 hodnotami, které jsem zkontroloval, jsem se místo toho rozhodl místo toho spočítat a jedinou hodnotu # n # to funguje # n = 1 #, výsledkem je #1#.

Konečně, jediný soubor po sobě jdoucích čísel, který produkuje celočíselný výsledek je #0,1,2#, dávat #1# Odpověď je tedy # B #