Jak řešíte x + 2 = e ^ (x)?

Odpovědět:

Použijte Newtonovu metodu

#x = 1.146193 # a #x = -1,84141 #

Vysvětlení:

Rovnici nelze vyřešit pomocí algebraických metod. Pro tento typ rovnice používám techniku numerické analýzy nazvanou Newtonova metoda.

Zde je odkaz na Newtonovu metodu

Nechat #f (x) = e ^ x - x - 2 = 0 #

#f '(x) = e ^ x - 1 #

Začnete s odhadem # x_0 # a poté proveďte následující výpočet pro přiblížení k řešení:

#x_ (n + 1) = x_n - f (x_n) / (f '(x_n)) #

Vypočítáváte, každý krok vkládáte zpět do rovnice, dokud se číslo, které získáte, nezmění od předchozího čísla.

Protože Newtonova metoda je výpočetně náročná, používám tabulku Excel.

Otevřete tabulku Excel

Do buňky A1 zadejte svůj odhad # x_0 #. Zadal jsem 1 do buňky A1.

Do buňky A2 zadejte následující výraz:

= A1 - (EXP (A1) - A1 - 2) / (EXP (A1) - 1)

Zkopírujte obsah buňky A2 do schránky a vložte ji do buňky A3 až A10.

Uvidíte, že se číslo rychle přibližuje #x = 1.146193 #

Edit: Po přečtení velmi pěkného komentáře od Shell. Rozhodl jsem se najít druhý kořen změnou hodnoty buňky A1 z 1 na -1. Tabulka rychle konverguje na hodnotu #x = -1,84141 #

Odpovědět:

Tuto otázku nelze vyřešit algebraicky. Graf dává # x = -1,841 # a # x = 1.146 #.

Vysvětlení:

Levá strana rovnice # x + 2 # je algebraický.

Pravá strana rovnice # e ^ x # je transcendentální (nelze vyjádřit jako polynom, např. exponenciály, logy, funkce trig).

Tuto rovnici nelze vyřešit algebraicky, ale lze ji řešit graficky.

Chcete-li vyřešit, spiknutí obojí #color (červená) (y = x + 2) # a #color (modrá) (y = e ^ x) # v grafickém nástroji nebo grafickém kalkulátoru. Řešení jsou #X# souřadnice křižovatek.