Otázka # 0df97

Odpovědět:

Odpověď na 4 je # e ^ -2 #.

Vysvětlení:

Problém je:

#lim_ (x-> oo) ((2x + 2) / (2x + 4)) (2x + 2) #

Teď je to obtížný problém. Řešení spočívá ve velmi opatrném rozpoznávání vzorů. Můžete si připomenout definici #E#:

# e = lim_ (u-> oo) (1 + 1 / u) ^ u ~ ~ 2.718 … #

Kdybychom mohli tento limit přepsat jako něco blízkého definici #E#, měli bychom odpověď. Zkusme to.

Všimněte si, že #lim_ (x-> oo) ((2x + 2) / (2x + 4)) (2x + 2) # je ekvivalentní:

#lim_ (x-> oo) ((2x + 4-2) / (2x + 4)) (2x + 2) #

Frakce můžeme rozdělit takto:

#lim_ (x-> oo) ((2x + 4) / (2x + 4) -2 / (2x + 4)) (2x + 2) #

# = lim_ (x-> oo) (1-2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

Dostáváme se tam! Pojďme se rozdělit #-2# shora a dole:

#lim_ (x-> oo) (1-2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

# = lim_ (x-> oo) (1 + ((- 2)) / (- 2 (-x-2))) (2x + 2) #

# -> lim_ (x-> oo) (1+ (zrušit (-2)) / (zrušit (-2) (- x-2)) ^ (2x + 2) #

# = lim_ (x-> oo) (1 + 1 / (- x-2)) ^ (2x + 2) #

Aplikujme substituci # u = -x-2-> x = -2-u #:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / (- x-2)) ^ (2x + 2) #

# = (1 + 1 / u) ^ (2 (-2-u) + 2 #

# = (1 + 1 / u) ^ (- 4-2u + 2) #

# = (1 + 1 / u) ^ (- 2u-2) #

Vlastnosti exponentů říkají: # x ^ (a + b) = x ^ ax ^ b #

Tak #lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2u-2) # je ekvivalentní:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2u) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

Vlastnosti exponentů také říkají, že: # x ^ (ab) = x ^ (a ^ b) #

Což znamená, že se dále snižuje na:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

Podle definice, #lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (u) = e #; a použitím přímé náhrady na druhém limitu výnosů:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = 1 / (1 + 1 / oo) ^ (2) #

#=1/(1+0)^(2)#

#=1/1^(2)=1#

Takže řešení je …

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = (e) ^ - 2 (1) #

# = e ^ -2 #