Kdy použít Heronův vzorec na nalezení prostoru?

Můžete ji použít, kdykoliv znáte délku všech tří stran trojúhelníku.

Doufám, že to bylo užitečné.

Odpovědět:

Heronův vzorec je téměř vždy špatný vzorec k použití; zkuste Archimédův teorém pro trojúhelník s plochou #A# a stran # a, b, c #:

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

#quad = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

#quad = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# quad = 16s (s-a) (s-b) (s-c) # kde # s = 1/2 (a + b + c) #

Tento poslední je tenký zahalený Heron.

Vysvětlení:

Hrdina Alexandrie napsal v prvním století našeho letopočtu. Proč pokračujeme v mučení studentů s jeho výsledkem, když jsou mnohem hezčí moderní ekvivalenty, které nemám ponětí.

Heronův vzorec pro oblast #A# trojúhelníku se stranami # a, b, c # je

# A = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # kde # s = 1/2 (a + b + c) # je semiperimetr.

Není pochyb, že tento vzorec je úžasný. Ale je to nepříjemné používat kvůli zlomku a, pokud začneme ze souřadnic, čtyři čtvercové kořeny.

Udělejme jen matematiku. Náměstí a odstranění # s # který většinou slouží ke skrytí #16# a důležitou faktorizaci. Možná to budete chtít nejprve vyzkoušet.

# A ^ 2 = 1/2 (a + b + c) (1/2 (a + b + c) -a) (1/2 (a + b + c) -b) (1/2 (+ + b + c) -c) #

# A ^ 2 = 1/2 (a + b + c) (1/2 (-a + b + c)) (1/2 (a-b + c)) (1/2 (a + bc)) #

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

To je už mnohem lepší než Heronova forma. Zachráníme zlomek až do konce a už není divu, co je významem semiperimetru.

Degenerovaný případ říká. Když je jeden z těchto faktorů se znaménkem mínus nula, pak se dvě strany sčítají přesně na druhou stranu. To jsou vzdálenosti mezi třemi kolineárními body, degenerovaným trojúhelníkem a dostaneme nulovou plochu. Dává smysl.

# a + b + c # faktor je zajímavý. To, co nám říká, že tento vzorec stále funguje, pokud používáme posuny, podepsané délky, místo všech pozitivních.

Vzorec je stále obtížné použít dané souřadnice. Vynásobme to; možná to budete chtít vyzkoušet sami;

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# = (-a ^ 2-ab-ac + ab + b ^ 2 + bc + ac + bc + c ^ 2) (a ^ 2-ab + ac + ab-b ^ 2 + bc-ac + bc-c ^ 2) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) #

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Tato forma závisí pouze na čtvercích délek. Je to jasně plně symetrické. Teď můžeme jít za Heron a říct, jestli čtvercové délky jsou racionální, stejně jako čtvercová plocha.

Můžeme však udělat lépe, když si všimneme

# (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) +2 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

Odečítání,

# 16A ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

To je ta nejkrásnější forma.

Existuje asymetrická forma, která je obvykle nejužitečnější. Všimli jsme si

# (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) -2 (-a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

Přidání tohoto

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

To je ta nejužitečnější forma. Tam jsou opravdu tři způsoby, jak to napsat, vyměnit strany.

Kolektivně tito jsou voláni Archimedesova věta, od NJ Wildberger je Rational Trigonometry.

Při zadávání 2D souřadnic je často šňůrkový vzorec nejrychlejší cestou do oblasti, ale uložím to pro ostatní příspěvky.