Odpovědět:
# "Zde neexistuje žádná jednoduchá faktorizace. Pouze obecná metoda" #
# "pro řešení kubické rovnice nám může pomoci."
Vysvětlení:
# "Mohli bychom použít metodu založenou na nahrazení Vieta."
# "Rozdělení podle výnosů prvního koeficientu:" #
# x ^ 3 + 2 x ^ 2 - (13/2) x + 3 = 0 #
# "Nahradit" x = y + p "v" x ^ 3 + ax ^ 2 + bx + c "výnosy:" #
# y ^ 3 + (3p + a) y ^ 2 + (3p ^ 2 + 2ap + b) y + p ^ 3 + ap ^ 2 + bp + c = 0 #
# "pokud vezmeme" 3p + a = 0 "nebo" p = -a / 3 ", první koeficient" # # "se stane nulou a dostaneme:" #
# => y ^ 3 - (47/6) y + (214/27) = 0 #
# "(s" p = -2/3 ")" #
# "Nahrazení" y = qz "v" y ^ 3 + b y + c = 0 ", výnosy:" #
# z ^ 3 + b z / q ^ 2 + c / q ^ 3 = 0 #
# "pokud vezmeme" q = sqrt (| b | / 3) ", koeficient z se stane" #
# "3 nebo -3 a dostaneme:" #
# "(zde" q = 1.61589329 ")" #
# => z ^ 3 - 3 z + 1.87850338 = 0 #
# "Nahrazení" z = t + 1 / t ", výnosy:" #
# => t ^ 3 + 1 / t ^ 3 + 1,87850338 = 0 #
# "Nahrazení" u = t ^ 3 ", dává kvadratickou rovnici:" #
# => u ^ 2 + 1,87850338 u + 1 = 0 #
# "Kořeny kvadratické rovnice jsou složité."
"To znamená, že máme 3 skutečné kořeny v naší kubické rovnici."
# "Kořen této kvadratické rovnice je" #
# u = -0.93925169 + 0.34322917 i #
# "Nahrazení proměnných zpět, výnosy:" #
#t = root3 (u) = 1,0 * (cos (-0,93041329) + i sin (-0,93041329)) #
# = 0.59750263 - 0.80186695 i. #
# => z = 1.19500526 + i 0.0.
# => y = 1.93100097 + i 0.0.
# => x = 1.26433430 #
# "Ostatní kořeny lze nalézt dělením a řešením" # # "zbývající kvadratická rovnice." #
# "Ostatní kořeny jsou skutečné: -3,87643981 a 0,61210551." # #
Odpovědět:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 = 2 (x-x_0) (x-x_1) (x-x_2) #
kde:
#x_n = 1/6 (-4 + 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3)) #
Vysvětlení:
Vzhledem k:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 #
Všimněte si, že tato skutečnost je mnohem snadnější, pokud je v otázce překlep.
Například:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-barva (červená) (12) x + 6 = 2 (x-1) (x ^ 2 + 3x-6) = … #
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + barva (červená) (7) = (x-1) (2x ^ 2 + 6x-7) = … #
Je-li kubika v dané podobě správná, můžeme najít její nuly a faktory takto:
#f (x) = 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 #
Tschirnhaus transformace
Aby byl úkol vyřešení kubické jednodušší, vytvoříme kubický jednodušší pomocí lineární substituce známé jako Tschirnhausova transformace.
# 0 = 108f (x) = 216x ^ 3 + 432x ^ 2-1404x + 648 #
# = (6x + 4) ^ 3-282 (6x + 4) + 1712 #
# = t ^ 3-282t + 1712 #
kde # t = (6x + 4) #
Trigonometrická substituce
Od té doby #f (x) # má #3# Skutečné nuly, Cardanovo metody a podobné výsledky budou mít za následek výrazy zahrnující neredukovatelné kořeny kostek komplexních čísel. Moje preference za takových okolností je místo toho použít goniometrickou substituci.
Dát:
#t = k cos theta #
kde #k = sqrt (4/3 * 282) = 2sqrt (94) #
Pak:
# 0 = t ^ 3-282t + 1712 #
#color (bílá) (0) = k ^ 3 cos ^ 3 theta - 282k cos theta + 1712 #
#color (bílá) (0) = 94k (4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) + 1712 #
#color (bílá) (0) = 94k cos 3 theta + 1712 #
Tak:
#cos 3 theta = -1712 / (94 k) = -1712 / (188 sqrt (94)) = - (1712sqrt (94)) / (188 * 94) = -214/2209 sqrt (94) #
Tak:
# 3 theta = + -cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + 2npi #
Tak:
#theta = + - 1 / 3cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3 #
Tak:
#cos theta = cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3) #
Které giveny #3# zřetelné nuly kubické # t #:
#t_n = k cos theta = 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3) "" # pro #n = 0, 1, 2 #
Pak:
#x = 1/6 (t-4) #
Takže tři nuly dané krychle jsou:
#x_n = 1/6 (-4 + 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3)) #
s přibližnými hodnotami:
# x_0 ~ ~ 1.2643 #
# x_1 ~ ~ -3,8764 #
# x_2 ~~ 0.61211 #
