Jak napíšete polynom s funkcí minimálního stupně ve standardním tvaru s reálnými koeficienty, jejichž nuly zahrnují -3,4 a 2-i?

Odpovědět:

#P (X) = aq (X + 3) (X-4) (X-2 + i) (X-2-i) # s #aq v RR #.

Vysvětlení:

Nechat # P # je to polynom, o kterém mluvíte. Předpokládám, že #P! = 0 # nebo by to bylo triviální.

P má reálné koeficienty #P (alfa) = 0 => P (baralpha) = 0 #. To znamená, že existuje další kořen pro P, #bar (2-i) = 2 + i #, proto tento formulář pro # P #:

#P (X) = a (X + 3) ^ (a_1) * (X-4) ^ (a_2) * (X - 2 + i) ^ (a_3) * (X-2-i) ^ (a_4) * Q (X) # s #a_j v NN #, #Q v RR X # a #a v RR # protože chceme # P # mít skutečné koeficienty.

Chceme míru # P # být co nejmenší. Li #R (X) = a (X + 3) ^ (a_1) (X-4) ^ (a_2) (X - 2 + i) ^ (a_3) (X-2-i) ^ (a_4) # pak #deg (P) = deg (R) + deg (Q) = součet (a_j + 1) + deg (Q) #. #Q! = 0 # tak #deg (Q)> = 0 #. Pokud chceme # P # mít co nejmenší možný stupeň #deg (Q) = 0 # (# Q # je jen reálné číslo # q #), proto #deg (P) = deg (R) # a tady to můžeme dokonce říci #P = R #. #deg (P) # bude pokud možno co nejmenší #a_j = 0 #. Tak #deg (P) = 4 #.

Prozatím, #P (X) = a (X + 3) (X-4) (X-2 + i) (X-2-i) q #. Rozvíjejme to.

#P (X) = aq (X ^ 2 - X - 12) (X ^ 2-4X + 5) v RR X #. Takže tento výraz je nejlepší # P # můžeme najít s těmito podmínkami!