Důkaz, že N = (45 + 29 sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29 sqrt (2)) ^ (1/3) je celé číslo?

Odpovědět:

Zvážit # t ^ 3-21t-90 = 0 #

Toto má jeden opravdový kořen, který je #6# a.k.a. # (45 + 29sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29sqrt (2)) ^ (1/3) #

Vysvětlení:

Zvažte rovnici:

# t ^ 3-21t-90 = 0 #

Pomocí Cardanovy metody ho vyřešíme #t = u + v #

Pak:

# u ^ 3 + v ^ 3 + 3 (uv-7) (u + v) -90 = 0 #

Odstranění výrazu v # (u + v) #, přidejte omezení # uv = 7 #

Pak:

# u ^ 3 + 7 ^ 3 / u ^ 3-90 = 0 #

Vynásobte pomocí # u ^ 3 # a přeskupit se tak, aby se dostala do kvadratické # u ^ 3 #:

# (u ^ 3) ^ 2-90 (u ^ 3) +343 = 0 #

kvadratickým vzorcem to má kořeny:

# u ^ 3 = (90 + -sqrt (90 ^ 2- (4 * 343)) / 2 #

#color (bílá) (u ^ 3) = 45 + - 1 / 2sqrt (8100-1372) #

#color (bílá) (u ^ 3) = 45 + - 1 / 2sqrt (6728) #

#color (bílá) (u ^ 3) = 45 + - 29sqrt (2) #

Protože toto je Real a derivace byla symetrická v # u # a #proti#, můžeme použít jeden z těchto kořenů # u ^ 3 # a další # v ^ 3 # odvodit, že reálná nula # t ^ 3-21t-90 # je:

# t_1 = kořen (3) (45 + 29sqrt (2)) + kořen (3) (45-29sqrt (2)) #

ale zjistíme:

#(6)^3-21(6)-90 = 216 - 126 - 90 = 0#

Takže Reálná nula # t ^ 3-21t-90 # je #6#

Tak # 6 = kořen (3) (45 + 29sqrt (2)) + kořen (3) (45-29sqrt (2)) #

#barva bílá)()#

Poznámka pod čarou

Pro nalezení kubické rovnice jsem použil Cardanovu metodu dozadu.

Odpovědět:

#N = 6 #

Vysvětlení:

Tvorba #x = 45 + 29 sqrt (2) # a #y = 45-29 sqrt (2) # pak

# (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) ^ 3 = x + 3 (xy) ^ (1/3) x ^ (1/3) +3 (xy) ^ (1/3)) y ^ (1/3) + y #

# (x y) ^ (1/3) = (7 ^ 3) ^ (1/3) = 7 #

# x + y = 2 xx 45 #

tak

# (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) ^ 3 = 90 + 21 (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) #

nebo volání #z = x ^ (1/3) + y ^ (1/3) # my máme

# z ^ 3-21 z-90 = 0 #

s # 90 = 2 xx 3 ^ 2 xx 5 # a #z = 6 # je kořen

# x ^ (1/3) + y ^ (1/3) = 6 #