Vzorec pro arclength
Vaše parametrické rovnice jsou
S intervalem
Uvnitř,
A váš numerický integrál je přibližně 266,536.
Jaká je arclength r = 3 / 4theta na theta v [-pi, pi]?
L = 3 / 4pisqrt (pi ^ 2 + 1) + 3 / 4ln (pi + sqrt (pi ^ 2 + 1)) jednotky. > r = 3 / 4theta r ^ 2 = 9 / 16theta ^ 2 r '= 3/4 (r') ^ 2 = 9/16 Arclength je dán vztahem: L = int_-pi ^ pisqrt (9 / 16theta ^ 2 + 9/16) d theta Zjednodušte: L = 3 / 4int-pi ^ pisqrt (theta ^ 2 + 1) d theta Ze symetrie: L = 3 / 2int_0 ^ pisqrt (theta ^ 2 + 1) d theta Aplikujte substituční theta = tanphi: L = 3 / 2intsec ^ 3phidphi Toto je známý integrál: L = 3/4 [secphitanphi + ln | secphi + tanphi |] Reverze substituce: L = 3/4 [thetasqrt (theta ^ 2 + 1) + ln | theta + sqrt (theta ^ 2 + 1) |] _0 ^ pi Vložte meze
Jaká je arclength r = 4theta na theta v [-pi / 4, pi]?
Cca 27.879 Toto je metoda osnovy. Broušení některých prací bylo provedeno počítačem. Délka oblouku s = int dot s dt a tečka s = sqrt (vec v * vec v) Nyní, pro vec r = 4 theta t hat r + 4 theta dot theta = theta = 4 tečka theta (hat r + theta hat theta) Takže tečka s = 4 bodka theta sqrt (1 + theta ^ 2) Délka oblouku s = 4 int_ (t_1) ^ (t_2) ) sqrt (1 + theta ^ 2) bod theta dt = 4 int _ (- pi / 4) ^ (pi) sqrt (1 + theta ^ 2) d theta = 2 [theta sqrt (theta ^ 2 + 1) + sinh ^ (- 1) theta] (- pi / 4) ^ (pi) počítačové řešení. Viz Youtube link zde pro metodu cca 27.879 počít
Jaký je arclength (t-3, t + 4) na t v [2,4]?
A = 2sqrt2 Vzorec pro parametrickou délku oblouku je: A = int_a ^ b sqrt ((dx / dt) ^ 2 + (dy / dt) ^ 2) dt Začneme hledáním dvou derivací: dx / dt = 1 a dy / dt = 1 To dává, že délka oblouku je: A = int_2 ^ 4sqrt (1 ^ 2 + 1 ^ 2) d = int_2 ^ 4sqrt2 dt = [sqrt2t] _2 ^ 4 = 4sqrt2-2sqrt2 = 2sqrt2 Ve skutečnosti , protože parametrická funkce je tak jednoduchá (je to přímka), nepotřebujeme ani integrální vzorec. Pokud budeme vykreslovat funkci v grafu, můžeme použít pouze vzorec pro pravidelnou vzdálenost: A = sqrt ((x_1-x_2) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2) = sqrt (4 +