Test f pro konkávnost?

Odpovědět:

#F# je konvexní # RR #

Vysvětlení:

Vyřešeno to myslím.

#F# je 2 krát diferencovatelný v # RR # tak #F# a #F'# jsou spojité v # RR #

My máme # (f '(x)) ^ 3 + 3f' (x) = e ^ x + cosx + x ^ 3 + 2x + 7 #

Rozlišujeme obě části

# 3 * (f '(x)) ^ 2f' '(x) + 3f' '(x) = e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 # #<=>#

# 3f '' (x) ((f '(x)) ^ 2 + 1) = e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 #

• #f '(x) ^ 2> = 0 # tak #f '(x) ^ 2 + 1> 0 #

#<=># #f '' (x) = (e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2) / (3 ((f '(x)) ^ 2 + 1)> 0) #

Potřebujeme znamení čitatele, takže zvažujeme novou funkci

#g (x) = e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 # , #X##v## RR #

#g '(x) = e ^ x-cosx + 6x #

Všimli jsme si toho #g '(0) = e ^ 0-cos0 + 6 * 0 = 1-1 + 0 = 0 #

Pro # x = π # #=># #g '(π) = e ^ π-cosπ + 6π = e ^ π + 1 + 6π> 0 #

Pro # x = -π # #g '(- π) = e ^ (- π) -cos (-π) -6π = 1 / e ^ π + cosπ-6π = 1 / e ^ π-1-6π <0 #

Konečně dostaneme tuto tabulku, která ukazuje monotónnost #G#

Předpokládá se # I_1 = (- oo, 0 # a # I_2 = 0, + oo #

#g (I_1) = g ((- oo, 0) = g (0), lim_ (xrarr-oo) g (x)) = 3, + oo #

#g (I_2) = g (0, + oo) = g (0), lim_ (xrarr + oo) g (x)) = 3, + oo #

protože

• #lim_ (xrarr-oo) g (x) = lim_ (xrarr-oo) (e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2) #

# | sinx | <= 1 # #<=># # -1 <= - sinx <= 1 # #<=>#

# e ^ x + 3x ^ 2 + 2-1 <= e ^ x + 3x ^ 2 + 2-sinx <= e ^ x + 3x ^ 2 + 2 + 1 # #<=>#

# e ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 <=> #

# e ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= g (x) <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

• S použitím stlačení / sendvičové věty máme

#lim_ (xrarr-oo) (e ^ x + 3x ^ 2 + 1) = + oo = lim_ (xrarr-oo) (e ^ x + 3x ^ 2 + 3x) #

Proto, #lim_ (xrarr-oo) g (x) = + oo #

• #lim_ (xrarr + oo) g (x) = lim_ (xrarr + oo) (e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2) #

Stejným procesem skončíme

# e ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= g (x) <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

Nicméně, #lim_ (xrarr + oo) (e ^ x + 3x ^ 2 + 1) = + oo = e ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

Proto, #lim_ (xrarr + oo) g (x) = + oo #

Rozsah #G# bude:

# R_g = g (D_g) = g (I_1) uug (I_2) = 3, + oo #

• # 0! InR_g = 3, + oo # tak #G# nemá žádné kořeny # RR #

  #G# je spojitá v # RR # a nemá žádná řešení. Proto, #G# zachovává přihlášení # RR #

To znamená

# {(g (x)> 0 "," xεRR), (g (x) <0 "," xεRR):} #

Tím pádem, #g (π) = e ^ π-sinπ + 3π ^ 2 + 2 = e ^ π + 3π ^ 2 + 2> 0 #

Jako výsledek #g (x)> 0 #, #X##v## RR #

A #f '' (x)> 0 #, #X##v## RR #

#-># #F# je konvexní # RR #

Odpovědět:

Viz. níže.

Vysvětlení:

Dáno #y = f (x) # poloměr zakřivení křivky je dán vztahem

#rho = (1+ (f ') ^ 2) ^ (3/2) / (f' ') # tak

# (f ') ^ 3 + 3f' = e ^ x + cosx + x ^ 3 + 2 x + 7 # my máme

# 3 (f ') ^ 2f' '+ 3f' '= e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2 # nebo

#f '' (1+ (f ') ^ 2) = 1/3 (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) # nebo

# 1 / (f '' (1+ (f ') ^ 2)) = 3 / (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) # nebo

#rho = (1+ (f ') ^ 2) ^ (3/2) / (f' ') = (3 (1+ (f') ^ 2) ^ (5/2)) / (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) #

nyní analyzuje #g (x) = e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2 # my máme

#min g (x) = 0 # pro #x v RR # tak #g (x) ge 0 # a pak zakřivení v

#rho = (3 (1+ (f ') ^ 2) ^ (5/2)) / (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) # nezmění znaménko, takže to uzavřeme #f (x) # epigraf je konvexní # RR #