Jak integrujete int sec ^ -1x integrací metodou dílů?

Odpovědět:

Odpověď je # = x "oblouk" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Vysvětlení:

Potřebujeme

# (sec ^ -1x) '= ("oblouk" secx)' = 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

# intsecxdx = ln (sqrt (x ^ 2-1) + x) #

Integrace částí je

# intu'v = uv-intuv '#

Tady máme

# u '= 1 #, #=>#, # u = x #

# v = "arc" secx #, #=>#, # v '= 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

Proto, #int "arc" secxdx = x "oblouk" secx-int (dx) / (sqrt (x ^ 2-1)) #

Proveďte druhý integrál substitucí

Nechat # x = secu #, #=>#, # dx = secutanudu #

#sqrt (x ^ 2-1) = sqrt (sec ^ 2u-1) = tanu #

# intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (secutanudu) / (tanu) = intsecudu #

# = int (secu + tanu) du) / (secu + tanu) #

# = int ((sec ^ 2u + secutanu) du) / (secu + tanu) #

Nechat # v = secu + tanu #, #=>#, # dv = (sec ^ 2u + secutanu) du #

Tak, # intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (dv) / (v) = lnv #

# = ln (secu + tanu) #

# = ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) #

Konečně, #int "oblouk" secxdx = x "oblouk" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Odpovědět:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Vysvětlení:

Alternativně můžeme použít málo známý vzorec pro zpracování integrálů inverzních funkcí. Vzorec uvádí:

#int f ^ -1 (x) dx = xf ^ -1 (x) -F (f ^ -1 (x)) + C #

kde # f ^ -1 (x) # je inverzní #f (x) # a #F (x) # je anti-derivát #f (x) #.

V našem případě dostaneme:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -F (sec ^ -1 (x)) + C #

Vše, co potřebujeme udělat, je anti-derivace #F#, který je známým integrálním secantem:

#int sec (x) dx = ln | sec (x) + tan (x) | + C #

Zapojení zpět do vzorce dává naši poslední odpověď:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln | sec (sec ^ -1 (x)) + tan (sec ^ -1 (x)) | + C #

Musíme být opatrní při zjednodušování #tan (sec ^ -1 (x)) # na #sqrt (x ^ 2-1) # protože identita je platná pouze tehdy, pokud #X# je pozitivní. Máme však štěstí, protože to můžeme napravit tak, že do logaritmu vložíme absolutní hodnotu. To také odstraňuje potřebu první absolutní hodnoty, protože vše uvnitř logaritmu bude vždy pozitivní:

# xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + C #