Jaká je derivace f (x) = csc ^ -1 (x)?

# dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) #

Proces:

1.) #y = "arccsc" (x) #

Nejdříve přepíšeme rovnici do formy, se kterou je snazší pracovat.

Vezměte cosecant z obou stran:

2.) #csc y = x #

Přepište sine:

3.) # 1 / siny = x #

Vyřešit pro # y #:

4.) # 1 = xsin y #

5.) # 1 / x = sin y #

6.) #y = arcsin (1 / x) #

Vezmeme-li derivaci, mělo by to být snazší. Nyní je to jen otázka pravidla řetězu.

Víme, že # d / dx arcsin alfa = 1 / sqrt (1 - alfa ^ 2) # (zde se nachází doklad o této totožnosti)

Takže vezměte derivaci vnější funkce, pak násobte derivací # 1 / x #:

7.) # dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * d / dx 1 / x #

Derivace # 1 / x # je stejný jako derivát #x ^ (- 1) #:

8.) # dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * (-x ^ (- 2)) #

Zjednodušení 8. nám dává:

9.) # dy / dx = -1 / (x ^ 2 * sqrt (1 - 1 / x ^ 2)) #

Aby bylo prohlášení trochu hezčí, můžeme přinést náměstí # x ^ 2 # uvnitř radikálu, i když to není nutné:

10.) # dy / dx = -1 / (sqrt (x ^ 4 (1 - 1 / x ^ 2))) # #

Zjednodušení výnosů:

11.) # dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) #

A je tu naše odpověď. Pamatujte si, že derivační problémy zahrnující inverzní trig funkce jsou většinou cvičení ve vašich znalostech trig identity. Použijte je k rozdělení funkce do formy, která se snadno rozlišuje.