Paní Fox požádala její třídu o součet 4,2 a druhé odmocniny 2 racionální nebo iracionální? Patrick odpověděl, že suma bude iracionální. Uveďte, zda je Patrick správný nebo nesprávný. Zdůvodněte své úvahy.

Odpovědět:

Součet # 4.2 + sqrt2 # je iracionální; zdědí vlastnost nikdy se opakující desítkové expanze #sqrt 2 #.

Vysvětlení:

An iracionální číslo je číslo, které nelze vyjádřit jako poměr dvou celých čísel. Pokud je číslo iracionální, pak jeho desetinné rozšíření pokračuje navždy bez vzoru a naopak.

To už víme #sqrt 2 # je iracionální. Zahájí se desetinná expanze:

#sqrt 2 = 1,414213562373095 … #

Číslo #4.2# je Racionální; může být vyjádřena jako #42/10.# Když přidáme 4,2 na desetinnou expanzi #sqrt 2 #, dostaneme:

#sqrt 2 + 4,2 = barva (bílá) + 1,414213562373095 … #

#color (bílá) (sqrt 2) barva (bílá) + barva (bílá) (4,2 =) + 4,2 #

#color (bílá) (sqrt 2) barva (bílá) + barva (bílá) (4,2 =) pruh (barva (bílá) (+) 5,614213562373095 …) #

Je snadno vidět, že tento součet nekončí ani nemá opakující se vzor, takže je i iracionální.

Obecně platí, že součet racionálního čísla a iracionálního čísla bude vždy iracionální; argument je podobný výše.

Odpovědět:

#color (blue) ("správné") #

Vysvětlení:

Začneme-li tím, že řekneme, že součet je racionální: Všechna racionální čísla mohou být zapsána jako podíl dvou celých čísel # a / bcolor (bílá) (88) # #b! = 0 #

#4.2=21/5#

# 21/5 + sqrt (2) = a / b #

#sqrt (2) = a / b-21/5 #

#sqrt (2) = (5a-21b) / (5b) #

Produkt dvou celých čísel je celé číslo:

Rozdíl dvou celých čísel je celé číslo:

Tak:

# 5a-21b # je celé číslo.

# 5b # je celé číslo.

Proto:

# (5a-21b) / (5b) # je racionální.

Ale to víme #sqrt (2) # je iracionální, takže je to rozpor s naším předpokladem, že součet byl racionální, proto je součet iracionálního čísla a racionálního čísla vždy iracionální.