Jaká je projekce (3i + 2j - 6k) na (3i - 4j + 4k)?

Odpovědět:

Vektorová projekce je #< -69/41,92/41,-92/41 >#, skalární projekce je # (- 23sqrt (41)) / 41 #.

Vysvětlení:

Dáno # veca = (3i + 2j-6k) # a # vecb = (3i-4j + 4k) #, můžeme najít #proj_ (vecb) veca #, vektor projekce # veca # na # vecb # pomocí následujícího vzorce:

#proj_ (vecb) veca = ((veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb |

To znamená, že bodový produkt dvou vektorů dělený velikostí # vecb #, násobeno # vecb # jeho velikost. Druhou veličinou je vektorová veličina, protože vektor rozdělujeme skalárem. Všimněte si, že se dělíme # vecb # jeho velikosti, aby získal a jednotkový vektor (vektor s velikostí. t #1#). Můžete si všimnout, že první veličina je skalární, protože víme, že když vezmeme bodový součin dvou vektorů, výsledkem je skalární.

Proto skalární projekce #A# na # b # je #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #, také napsaný # | proj_ (vecb) veca |.

Můžeme začít tím, že vezmeme bodový produkt dvou vektorů, který může být zapsán jako # veca = <3,2, -6> # a # vecb = <3, -4,4> #.

# veca * vecb = <3,2, -6> * <3, -4,4> #

#=> (3*3)+(2*-4)+(-6*4)#

#=>9-8-24=-23#

Pak můžeme zjistit velikost # vecb # tím, že vezme druhou odmocninu součtu čtverců každé ze složek.

# | vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) #

# | vecb | = sqrt ((3) ^ 2 + (- 4) ^ 2 + (4) ^ 2) #

# => sqrt (9 + 16 + 16) = sqrt (41) #

A teď máme vše, co potřebujeme k nalezení vektorové projekce # veca # na # vecb #.

#proj_ (vecb) veca = (- 23) / sqrt (41) * (<3, -4,4>) / sqrt (41) #

#=>(-23 < 3,-4,4 >)/41#

#=>-23/41< 3,-4,4 >#

Koeficient můžete rozdělit na každou složku vektoru a zapsat jako:

#=>< -69/41,92/41,-92/41 >#

Skalární projekce # veca # na # vecb # je jen první polovina vzorce, kde #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #. Proto skalární projekce je # -23 / sqrt (41) #, což dále nezjednodušuje, kromě racionalizace jmenovatele, je-li to žádoucí, dává # (- 23sqrt (41)) / 41 #.

Doufám, že to pomůže!