Jaká je projekce <0, 1, 3> na <0, 4, 4>?

Odpovědět:

Vektorová projekce je #< 0,2,2 >#, skalární projekce je # 2sqrt2 #. Viz. níže.

Vysvětlení:

Dáno # veca = <0,1,3> # a # vecb = <0,4,4> #, můžeme najít #proj_ (vecb) veca #, vektor projekce # veca # na # vecb # pomocí následujícího vzorce:

#proj_ (vecb) veca = ((veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb |

To znamená, že bodový produkt dvou vektorů dělený velikostí # vecb #, násobeno # vecb # jeho velikost. Druhou veličinou je vektorová veličina, protože vektor rozdělujeme skalárem. Všimněte si, že se dělíme # vecb # jeho velikosti, aby získal a jednotkový vektor (vektor s velikostí. t #1#). Můžete si všimnout, že první veličina je skalární, protože víme, že když vezmeme bodový součin dvou vektorů, výsledkem je skalární.

Proto skalární projekce #A# na # b # je #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #, také napsaný # | proj_ (vecb) veca |.

Můžeme začít tím, že vezmeme bodový produkt dvou vektorů:

# veca * vecb = <0,1,3> * <0,4,4> #

#=> (0*0)+(4*1)+(4*3)#

#=>0+4+12=16#

Pak můžeme zjistit velikost # vecb # tím, že vezme druhou odmocninu součtu čtverců každé ze složek.

# | vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) #

# | vecb | = sqrt ((0) ^ 2 + (4) ^ 2 + (4) ^ 2) #

# => sqrt (0 + 16 + 16) = sqrt (32) #

A teď máme vše, co potřebujeme k nalezení vektorové projekce # veca # na # vecb #.

#proj_ (vecb) veca = (16) / sqrt (32) * (<0,4,4>) / sqrt (32) #

#=>(16 < 0,4,4 >)/32#

#=>(< 0,4,4 >)/2#

#=>< 0,2,2 >#

Skalární projekce # veca # na # vecb # je jen první polovina vzorce, kde #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #. Proto skalární projekce je # 16 / sqrt (32) #, což dále zjednodušuje # 2sqrt2 #. Níže jsem ukázal zjednodušení.

# 16 / sqrt (32) #

# => 16 / sqrt (16 * 2) #

# => 16 / (4 * sqrt2) #

# => 4 / sqrt2 #

# => (4 * sqrt2) / (sqrt2 * sqrt2) #

# => (4sqrt2) / 2 #

# => 2sqrt2 #

Doufám, že to pomůže!