Jaký je rozsah kvadratické funkce?

Odpovědět:

Rozsah #f (x) = ax ^ 2 + bx + c # je:

# {(c-b ^ 2 / (4a), oo) "pokud" a> 0), ((-oo, c-b ^ 2 / (4a) "pokud" a <0):} #

Vysvětlení:

Vzhledem k kvadratické funkci:

#f (x) = ax ^ 2 + bx + c "" # s #a! = 0 #

Můžeme dokončit náměstí, abychom našli:

#f (x) = a (x + b / (2a)) ^ 2+ (c-b ^ 2 / (4a)) #

Pro skutečné hodnoty #X# na druhou mocninu # (x + b / (2a)) ^ 2 # je nezáporná, s minimální hodnotou #0# když #x = -b / (2a) #.

Pak:

#f (-b / (2a)) = c - b ^ 2 / (4a) #

Li #a> 0 # pak je to minimální možná hodnota #f (x) # a rozsah #f (x) # je # c-b ^ 2 / (4a), oo) #

Li #a <0 # pak je to maximální možná hodnota #f (x) # a rozsah #f (x) # je # (- oo, c-b ^ 2 / (4a) #

Další způsob, jak se na to dívat, je nechat #y = f (x) # a zjistěte, zda existuje řešení #X# ve smyslu # y #.

Vzhledem k:

#y = ax ^ 2 + bx + c #

Odčítat # y # z obou stran najít:

# ax ^ 2 + bx + (c-y) = 0 #

Diskriminační #Delta# této kvadratické rovnice je:

#Delta = b ^ 2-4a (c-y) = (b ^ 2-4ac) + 4ay #

Abychom měli reálná řešení, potřebujeme #Delta> = 0 # a tak:

# (b ^ 2-4ac) + 4ay> = 0 #

Přidat # 4ac-b ^ 2 # na obou stranách najít:

# 4ay> = 4ac-b ^ 2 #

Li #a> 0 # pak můžeme obě strany jednoduše rozdělit # 4a # dostat:

#y> = c-b ^ 2 / (4a) #

Li #a <0 # pak můžeme obě strany rozdělit # 4a # a zvrátit nerovnost a získat:

#y <= c-b ^ 2 / (4a) #