Jaká je druhá odmocnina 543?

Odpovědět:

#sqrt (543) ~ ~ 23.30236 #

Vysvětlení:

Primární faktorizace #543# je:

#543 = 3 * 181#

Protože nemá žádné čtvercové faktory větší než #1#, druhá odmocnina #543# nelze zjednodušit.

Je to iracionální číslo mezi # 23 = sqrt (529) # a # 24 = sqrt 576 #.

Lineární interpolace, můžeme se přiblížit:

#sqrt (543) ~ 23+ (543-529) / (576-529) = 23 14/47 ~ ~ 23,3 #

Pro větší přesnost nechte # p_0 / q_0 = 233/10 # a opakujte pomocí vzorců:

# {(p_ (i + 1) = p_i ^ 2 + 543 q_i ^ 2), (q_ (i + 1) = 2p_iq_i):} #

Tak:

# {(p_1 = p_0 ^ 2 + 543 q_0 ^ 2 = 233 ^ 2 + 543 x 10 2 = 54289 + 54300 = 108589), (q_1 = 2 p_0 q_0 = 2 * 233 * 10 = 4660):} # #

Právě tato jedna iterace postačuje #7# (téměř #8#) významné číslice:

#sqrt (543) ~~ p_1 / q_1 = 108589/4660 ~ ~ 23.30236 #

Chceme-li více přesnosti, opakujte to znovu.

Poznámka pod čarou

Přesný opakující se zlomek pro #sqrt (543) # je:

# 543 = 23; bar (3,3,3,1,14,1,3,3,3,46) #

z nichž je možné najít řešení Pellovy rovnice:

#669337^2 = 543 * 28724^2 + 1#

který dělá #sqrt (543) ~ ~ 669337/28724 # velmi efektivní aproximaci.