Co je to GDC (2 ^ 32-2 ^ 24 + 2 ^ 16-2 ^ 8 + 1, 2 ^ 8 + 1)?

Odpovědět:

Největší společný dělitel #2^32-2^24+2^16-2^8+1# a #2^8+1# je #1#

Vysvětlení:

Všimněte si, že:

#257 = 2^8+1 = 2^(2^3)+1#

je prvočíslo - ve skutečnosti jeden z mála známých prvočísel Fermat.

Takže jediné možné společné faktory #2^8+1# a #2^32-2^24+2^16-2^8+1# jsou #1# a #257#.

Jak jste však uvedli v otázce:

#2^32-2^24+2^16-2^8+1 = (2^40+1)/(2^8+1)#

je ve tvaru:

# x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 = (x ^ 5 + y ^ 5) / (x + y) #

Jeden faktor # (x + y) = 2 ^ 8 + 1 # z #2^40+1# odpovídá skutečnému pátému kořenu jednoty a # (x + y) # není automaticky faktorem zbývajícího kvartiku # x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 # jejichž ostatní lineární faktory jsou nereálné.

Můžeme ručně rozdělit # x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 # podle # x + y # získat zbytek polynomu a pak jej nahradit # x = 2 ^ 8 # a # y = 1 # zkontrolovat, že se nejedná o zvláštní případ …

# x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 = (x + y) (x ^ 3-2x ^ 2y + 3xy ^ 2-4y ^ 3) + 5y ^ 4 #

Zbytek je tedy:

# 5y ^ 4 = 5 (barva (modrá) (1)) ^ 4 = 5 #

Protože zbytek je nenulový, #2^32-2^24+2^16-2^8+1# a #2^8+1# nemají větší společný faktor než #1#.