Jaká je projekce (4 i + 4 j + 2 k) na (i + j -7k)?

Odpovědět:

Vektorová projekce je #< -2/17,-2/17,14/17 >#, skalární projekce je # (- 2sqrt (51)) / 17 #. Viz. níže.

Vysvětlení:

Dáno # veca = (4i + 4j + 2k) # a # vecb = (i + j-7k) #, můžeme najít #proj_ (vecb) veca #, vektor projekce # veca # na # vecb # pomocí následujícího vzorce:

#proj_ (vecb) veca = ((veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb |

To znamená, že bodový produkt dvou vektorů dělený velikostí # vecb #, násobeno # vecb # jeho velikost. Druhou veličinou je vektorová veličina, protože vektor rozdělujeme skalárem. Všimněte si, že se dělíme # vecb # jeho velikosti, aby získal a jednotkový vektor (vektor s velikostí. t #1#).Můžete si všimnout, že první veličina je skalární, protože víme, že když vezmeme bodový součin dvou vektorů, výsledkem je skalární.

Proto skalární projekce #A# na # b # je #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #, také napsaný # | proj_ (vecb) veca |.

Můžeme začít tím, že vezmeme bodový produkt dvou vektorů, který může být zapsán jako # veca = <4,4,2> # a # vecb = <1,1, -7> #.

# veca * vecb = <4,4,2> * <1,1, -7> #

#=> (4*1)+(4*1)+(2*-7)#

#=>4+4-14=-6#

Pak můžeme zjistit velikost # vecb # tím, že vezme druhou odmocninu součtu čtverců každé ze složek.

# | vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) #

# | vecb | = sqrt ((1) ^ 2 + (1) ^ 2 + (- 7) ^ 2) #

# => sqrt (1 + 1 + 49) = sqrt (51) #

A teď máme vše, co potřebujeme k nalezení vektorové projekce # veca # na # vecb #.

#proj_ (vecb) veca = (- 6) / sqrt (51) * (<1,1, -7>) / sqrt (51) #

#=>(-6 < 1,1,-7 >)/51#

#=>-2/17< 1,1,-7 >#

Koeficient můžete rozdělit na každou složku vektoru a zapsat jako:

#=>< -2/17,-2/17,+14/17 >#

Skalární projekce # veca # na # vecb # je jen první polovina vzorce, kde #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #. Proto skalární projekce je # -6 / sqrt (51) #, což dále nezjednodušuje, kromě racionalizace jmenovatele, je-li to žádoucí, dává # (- 6sqrt (51)) / 51 => (-2sqrt (51)) / 17 #

Doufám, že to pomůže!