Jak to mohu integrovat?

Odpovědět:

# I = (e ^ (ln (2) x) (3sin (3x) + ln (2) cos (3x))) / ((ln (2)) ^ 2 + 3 ^ 2) + C #

Vysvětlení:

Chceme to vyřešit

# I = int2 ^ xcos (3x) dx = inte ^ (ln (2) x) cos (3x) dx #

Vyzkoušejte obecnější problém

# I_1 = inte ^ (ax) cos (bx) dx #

Kde hledáme řešení

# I_1 = (e ^ (ax) (bsin (bx) + acos (bx))) / (a ^ 2 + b ^ 2) + C #

Trik spočívá v tom, že použijete integraci dvakrát

# intudv = uv-intvdu #

Nechat # u = e ^ (ax) # a # dv = cos (bx) dx #

Pak # du = ae ^ (ax) dx # a # v = 1 / bsin (bx) #

# I_1 = 1 / be ^ (ax) sin (bx) -a / binte ^ (ax) sin (bx) dx #

Použijte integraci částí podle zbývajícího integrálu

# I_2 = a / binte ^ (ax) sin (bx) dx #

Nechat # u = e ^ (ax) # a # dv = sin (bx) dx #

Pak # du = ae ^ (ax) dx # a # v = -1 / bcos (bx) #

# I_2 = a / b (-1 / být ^ (ax) cos (bx) + a / binte ^ (ax) cos (bx) dx) #

# = - a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + a ^ 2 / b ^ 2inte ^ (ax) cos (bx) dx #

# = - a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + a ^ 2 / b ^ 2I_1 #

Nahraďte ji do původního integrálu a vyřešte # I_1 #, je to trochu dlouhé, ale postupujeme krok za krokem

# I_1 = 1 / být ^ (ax) sin (bx) - (- a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + a ^ 2 / b ^ 2I_1) #

# I_1 = 1 / být ^ (ax) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) -a ^ 2 / b ^ 2I_1 #

# I_1 + a ^ 2 / b ^ 2I_1 = 1 / být ^ (ax) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + C #

# (a ^ 2 + b ^ 2) / b ^ 2I_1 = 1 / být ^ (ax) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + C #

# I_1 = b ^ 2 / (a ^ 2 + b ^ 2) (1 / být ^ (ax) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx)) + C #

# I_1 = 1 / (a ^ 2 + b ^ 2) (být ^ (ax) sin (bx) + ae ^ (ax) cos (bx)) + C #

# I_1 = (e ^ (ax) (bsin (bx) + acos (bx))) / (a ^ 2 + b ^ 2) + C #

Pro váš problém # a = ln (2) # a # b = 3 #

# I = (e ^ (ln (2) x) (3sin (3x) + ln (2) cos (3x)) / ((ln (2)) ^ 2 + 9) + C #

Doufejme, že není mnoho chyb

Viz odpověď níže: namísto obecné formulace jsme řešili diskrétní prvky a konečný výsledek jsme nezjednodušili takto:

Jaké jsou příklady funkcí, které nelze integrovat?

Jak integrovat int x ^ lnx?

Int x ^ ln (x) dx = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C Začneme u-substitucí u = ln (x). My pak rozdělíme derivátem u integrovat s ohledem na u: (du) / dx = 1 / x int x ^ ln (x) dx = int x * x ^ u nyní musíme vyřešit pro x v termínech u: u = ln (x) x = e ^ u int x x x u u = int ^ u * (e ^ u) ^ u = int t 2 + u) du Můžete hádat, že to nemá elementární anti-derivaci a měli byste pravdu. Můžeme však použít formu pro imaginární chybovou funkci, erfi (x): erfi (x) = int 2 / sqrtpie ^ (x ^ 2) dx Pro získání našeho integrálu do této

Jak integrovat (x ^ 2 9) ^ (3/2) dx?

Vyřešeno! x ^ 3/4 sqrt (x ^ 2-9) -45 / 8x sqrt (x ^ 2-9) + 243 / 8ln (x + sqrt (x ^ 2-9)) použití redukčního vzorce nebo integrace podle částí pro integraci (sec u) ^ 5