Jak zjistíte limit lim_ (h-> 0) (sqrt (1 + h) -1) / h?

Odpovědět:

# frac {1} {2} #

Vysvětlení:

Limit představuje nedefinovanou formu #0/0#. V tomto případě můžete použít de l'hospital teorém, který uvádí

#lim f {x (x)} {g (x)} = rrac {f '(x)} {g' (x)} #

Derivace čitatele je

# frac {1} {2sqrt (1 + h)} #

Zatímco derivát jmenovatele je jednoduše #1#.

Tak, # lim_ {x 0} frac {f '(x)} {g' (x)} = {{0} {f {{}} {2sqrt (1 + h)} } {1} = {{x 0}} {1} {2sqrt (1 + h)} #

A tak jednoduše

# frac {1} {2sqrt (1)} = Frac {1} {2} #

Odpovědět:

# = 1/2 #

Vysvětlení:

Pokud si nejste vědomi pravidla l'hopitals …

Použití:

# (1 + x) ^ n = 1 + nx + (n (n-1)) / (2!) X ^ 2 + … #

# => (1 + h) ^ (1/2) = 1 + 1 / 2h - 1/8 h ^ 2 + … #

# => lim_ (h až 0) ((1 + 1/2 h - 1 / 8h ^ 2 + …) - 1) / h #

# => lim_ (h až 0) (1/2 h - 1 / 8h ^ 2 + …) / h #

# => lim_ (h až 0) (1/2 - 1/8 h + …) #

# = 1/2 #