Jak dokazujete arcsin x + arccos x = pi / 2?

Odpovědět:

jak je znázorněno

Vysvětlení:

Nechat

# arcsinx = theta #

pak

# x = sintheta = cos (pi / 2-theta) #

# => arccosx = pi / 2-theta = pi / 2-arcsinx #

# => arccosx = pi / 2-arcsinx #

# => arcsinx + arccosx = pi / 2 #

Odpovědět:

Prohlášení je pravdivé, když inverzní trig funkce odkazují na hlavní hodnoty, ale to vyžaduje více pozornosti, než ukazuje druhá odpověď.

Když jsou inverzní trig funkce považovány za vícehodnotové, získáme například více nuancí

#x = sin ({3 pi} / 4) = cos (pi / 4) = 1 / sqrt {2} quad # ale #quad {3pi} / 4 + pi / 4 = pi. #

Musíme to odečíst # pi / 2 #.

Vysvětlení:

Tenhle je složitější, než vypadá. Druhá odpověď to neznamená, že je to respekt.

Obecnou úmluvou je použít malé písmeno #arccos (x) # a #arcsin (x) # jako vícehodnotové výrazy, z nichž každá označuje všechny hodnoty, jejichž kosinus nebo sinus má danou hodnotu #X#.

Smysl těchto součtů je opravdu každou možnou kombinací, a ty by ne vždy dávaly # pi / 2. # Nebudou ani vždy dávat jeden z konterminálních úhlů # pi / 2 + 2pi k quad # celé číslo # k #, jak teď ukážeme.

Podívejme se, jak to funguje s vícehodnotovými inverzními trig funkcemi. Vzpomeňte si obecně cos x = cos a # má řešení # x = pm a + 2pi k quad # celé číslo # k #.

# c = arccos x # opravdu znamená

#x = cos c #

#s = arcsin x # opravdu znamená

#x = sin s #

#y = s + c #

#X# hraje roli reálného parametru, ze kterého plyne #-1# na #1#. Chceme to vyřešit # y #, najděte všechny možné hodnoty # y # které mají #x, s # a #C# který dělá tyto současné rovnice #x = cos c, x = sin s, y = s + c # skutečný.

#sin s = x = cos c #

#cos (pi / 2 - s) = cos c #

Naše výše uvedené obecné řešení se týká rovnosti kosinusů.

# pi / 2 - s = pm c + 2pi k quad # celé číslo # k #

# s: pm c = pi / 2 - 2pi k #

Tak dostaneme mnohem mlhavější výsledek, #arcsin x pm arcsin c = pi / 2 + 2pi k #

(Je dovoleno zapnout přihlášení # k.)

Zaměřme se nyní na hlavní hodnoty, které píšu velkými písmeny:

Show #text {Arc} text {sin} (x) + text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 #

Výkaz je skutečně pravdivý pro základní hodnoty definované obvyklým způsobem.

Součet je definován pouze (dokud se nedostaneme dost hluboko do komplexních čísel) # -1 le x le 1 # protože platné siny a kosiny jsou v tomto rozsahu.

Podíváme se na každou stranu ekvivalentu

# text {Arc} text {cos} (x) stackrel {?} {=} pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x) #

Vezmeme kosinus obou stran.

#cos (text {Arc} text {cos} (x)) = x #

#cos (pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x)) = sin (text {Arc} text {sin} (x)) = x #

Takže bez obav o znameních nebo základních hodnotách jsme si jisti

#cos (text {Arc} text {cos} (x)) = cos (pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x)) #

Dalším krokem je složitá část, která si zaslouží úctu:

#text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x) quad # NEJISTO JSTE

Musíme opatrně šlapat. Vezměme si pozitivní a negativní #X# odděleně.

První # 0 le x le 1 #. To znamená, že hlavní hodnoty obou inverzních trig funkcí jsou v prvním kvadrantu, mezi nimi #0# a # pi / 2. # Stejně jako první kvadrant, rovné kosiny znamenají stejné úhly #x ge 0, #

#text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x) quad #

Nyní # -1 le x <0. # Hlavní hodnota inverzní značky je ve čtvrtém kvadrantu a pro #x <0 # obvykle definujeme hlavní hodnotu v rozsahu

# - pi / 2 le text {Arc} text {sin} (x) <0 #

# pi / 2 ge - text {Arc} text {sin} (x)> 0 #

#pi ge pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x)> pi / 2 #

# pi / 2 <pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x) le pi #

Hlavní hodnotou pro negativní inverzní kosinus je druhý kvadrant, # pi / 2 <text {Arc} text {cos} (x) le pi #

Máme tedy dva úhly ve druhém kvadrantu, jejichž kosiny jsou stejné, a můžeme usuzovat, že úhly jsou stejné. Pro #x <0 #, #text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x) quad #

Ať tak či onak, # text {Arc} text {sin} (x) + text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 quad sqrt #